Основні поняття та задачі теорії диференціальних рівнянь

Міністерство освіти і науки України

Державний університет ТеЛЕКОМУНІКАЦІЙ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ЗАТВЕРДЖУЮ

Завідуючий кафедрою

________________Барабаш О.В.

“ ____ “ _____________ 2015 року

Тільки для викладачів

СЕМЕСТР 2

Л Е К Ц І Я № 1(19)

МОДУЛЬ 1(4)

Тема 1(8): „Звичайні диференціальні рівняння”

Основні поняття та задачі теорії диференціальних рівнянь. Теорема про існування розв’язку задачі Коші. Розв’язування ДР першого порядку: з відокремленими змінними та подільними змінними, однорідних, лінійних, Бернуллі.

з навчальної дисципліни вища математика

напряму підготовки телекомунікації

освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр

Лекція розроблена

кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом Онищенко В.В.

Обговорено на засіданні кафедри (ПМК)

Протокол № __________

“ ____ “ _____________ 2015 року

Київ – 2015

Навчальні цілі: Ознайомити студентів з основними поняттями та задачами теорії диференціальних рівнянь, з правилами та методами ДР першого порядку: з відокремленими змінними, однорідними, лінійними, Бернуллі.

Виховні цілі:Обґрунтувати, що якісне вивчення математичного аналізу сприяє:

- розвитку логічного та аналітичного мислення, пам’яті;

- можливості самостійно вивчати сучасну науково-технічну літературу;

- вмінню коротко і зрозуміло висловлювати свої думки;

- акуратності і точності записів, уважності, дисциплінованості;

- вмінню конспектувати, красиво оформлювати записи робочих зошитів для практичних занять та індивідуальних робіт;

- набуттю навичок систематизації матеріалу, що вивчається.

Час:1,5 години.

ПЛАН ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ ТА РОЗРАХУНОК ЧАСУ

Введення.

Перевірити наявність студентів на лекції 5 хвилин

Навчальні питання:

1. Основні поняття та задачі теорії диференціальних рівнянь 20 хвилин

2. Математичні моделі деяких ситуацій та процесів 10 хвилин

3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними 15 хвилин

4. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку 15 хвилин

5. Рівняння лінійні та Бернуллі 20 хвилин

Заключення5 хвилин

НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

Бажано мати:

1. крейду і вологу губку;

НАВЧАЛЬНІ МАТЕРІАЛИ

ТЕКСТ ЛЕКЦІЇ

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Основні поняття та задачі теорії диференціальних рівнянь.

Означення 1. Звичайними диференціальними рівняннями називають такі рівняння, які містять шукану функцію однієї змінної та її похідні або диференціали.

Це означення у загальному вигляді математично можна за­писати так

.

Означення 2. Найвищий порядок похідної, що містить дифе­ренціальне рівняння, називають порядком диференціальногорівняння.

Наприклад, рівняння – другого порядку; рівняння – третього порядку; рівняння та – першого порядку.

Означення 3. Загальним розв'язком диференціального рівняння -го порядку називають функцію , яка залежить від аргументу та довільних сталих , , …, , тобто має вигляд яка, при її підстановці у рівняння, пере­творює рівняння у тотожність.

Загальний розв'язок диференціального рівняння може бути і не розв'язаним відносно , тобто мати вигляд . У цьому випадку його називають загальним інтегралом дифе­ренціального рівняння.

Означення 4. Якщо у загальному розв'язку (інтегралі) дифе­ренціального рівняння замість довільних сталих записати фіксовані постійні числа, то одержаний розв'язок називають частиннимрозв'язком цього рівняння.

Найчастіше сталі обирають не довільно, а так, щоб розв'язок рівняння задовольняв деяким початковим умовам. Для знаходження я довільних сталих треба задати початкових умов.

Означення 5. Сумісне завдання диференціального рівняння та відповідної кількості початкових умов називають задачею Коші.

Наприклад, для диференціального рівняння першого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

.

Для диференціального рівняння другого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

.

У дослідженнях різноманітних життєвих та економічних про­блем найчастіше використовують диференціальні рівняння пер­шого та другого порядків певних типів та відповідні їм задачі Коші.

В теорії звичайних диференціальних рівнянь можна виділити дві основні задачі:

1) знаходження диференціального рівняння та початкових умов, які описують ситуацію або процес, який досліджують;

2) розв'язування заданої задачі Коші або знаходження загаль­ного розв'язку заданого диференціального рівняння.

Розглянемо декілька прикладів розв'язування цих основних задач.

Поиск по сайту: