Числові характеристики випадкових величин

Функція розподілу і щільність розподілу імовірностей є найбільш повними характеристиками випадкової величини. Але в ряді випадків такий повний опис випадкової величини, особливо на практиці, зробити досить складно або навіть не можливо. Тоді при вивченні випадкових величин обмежуються розглядом менш інформативних характеристик, які являють собою деякі константи (числа) і описують ті чи інші частинні сторони (властивості) функцій та щільностей розподілу імовірностей. Серед цих констант, які застосовуються для отримання загальної кількісної характеристики випадкових величин, особливо важливими є математичне сподівання, дисперсія та моменти різних порядків.

Для неперервної випадкової величини зі щільністю розподілу момент -го порядку визначається за формулою

,

де - позначає оператор математичного сподівання.

Ми робимо тут припущення, існує наступний інтеграл

.

Це необхідна і достатня умова існування -го моменту .

Для дискретної випадкової величини момент -го порядку

, (2.4)

де - імовірність, з якою випадкова величина набуває значення , тобто Додавання в правій частині співвідношення (2.4) виконується по всіх можливих значеннях дискретної випадкової величини . Якщо область значень дискретної випадкової величини є зліченна множина, тобто , то необхідною і достатньою умовою існування моменту є абсолютна збіжність ряду , тобто

.

Моменти мають наступну властивість: якщо існує момент -го порядку, то існують і всі моменти порядку ; якщо не існує моменту -го порядку, то не існують і всі моменти порядку -го порядку[1].

Означені вище моменти мають назву початкових моментів. Серед них найбільш вживаним при описі випадкових величин, особливо в практичних задачах, зокрема, при статистичній обробці сигналів, є момент першого порядку , який носить назву математичного сподівання або середнього випадкової величини. Будемо надалі позначати його літерою . Тоді

для неперервної випадкової величини і

для дискретної випадкової величини.

Математичне сподівання характеризує розташування кривої розподілу (наприклад, щільності ) в прямокутній системі координат відносно вісі ординат (див. рис. 2.8).

Рис. 2.8. Щільності розподілу імовірностей при різних значеннях

математичного сподівання

Для розподілу (рис. 2.8, а) математичне сподівання , для розподілу математичне сподівання . Випадкова величина, у якої математичне сподівання (рис. 2.8, в), називається центрованою.

Розглянемо властивості математичного сподівання.

1. Фізична розмірність математичного сподівання співпадає з фізичною розмірністю самої випадкової величини.

2. Нехай - випадкова величина. З неї шляхом деякого функціонального перетворення отримана випадкова величина . Тоді, якщо - щільність розподілу імовірностей первинної випадкової величини , то математичне сподівання випадкової величини знаходиться за формулою

.

3. Якщо - дійсна або уявна постійна величина, то

;

якщо - невипадкова, у загальному випадку, комплексна функція, то

.

4. Якщо і - ті ж самі, що і в п. 3, то мають місце наступні співвідношення

5. Якщо випадкова величина невід’ємна, тобто при всіх , то і . Аналогічно, коли , то і .

6. Якщо для двох випадкових величин виконується нерівність , то і .

7. Математичне сподівання суми (різниці) двох випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх математичних сподівань:

.

Остання формула може бути узагальнена на випадкових величин . Наприклад, при можливе одне із таких співвідношень

.

8. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин і дорівнює добуткові їх математичних сподівань:

Формула для математичного сподівання добутку двох незалежних величин також може бути узагальнена для випадкових величин, а саме, якщо випадкові величини незалежні у сукупності, то

.

9.Якщо крива щільності розподілу випадкової величини симетрична відносно точки (див. рис. 2.9, а), то .

Рис. 2.9. Симетричні щільності розподілу імовірностей

Якщо симетрична відносно вісі ординат, тобто є парною функцією: (див. рис. 2.9, б), то .

Окрім початкових моментів можуть розглядатися і моменти центрованої випадкової величини . Такі моменти мають назву центральних. Визначаються вони так. Для неперервної випадкової величини центральний момент -го порядку

Для дискретної випадкової величини

Із означення центральних моментів випливає, що і для неперервних, і для дискретних випадкових величин центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю, тобто .

Серед центральних моментів різних порядків найбільше застосування знайшов центральний момент другого порядку, який називають дисперсією випадкової величини. Позначимо її літерою . Тоді для неперервної випадкової величини маємо

.

Для дискретної випадкової величини

Дисперсія є своєрідною мірою, що характеризує степінь розвіювання значень випадкової величини відносно її математичного сподівання. Чим більша дисперсія випадкової величини, тим більш ймовірними є значні за величиною відхилення значень такої випадкової величини від її математичного сподівання (див. рис. 2.10). Якщо значення випадкової величини є відліками деякого випадкового сигналу, наприклад, напруги на виході антени приймача, то дисперсія зображає собою потужність сигналу. Дисперсія має фізичну розмірність квадрата розмірності випадкової величини. Тому більш зручною характеристикою розвіювання значень випадкової величини є арифметичне значення кореня квадратного із її дисперсії, що має назву середнього квадратичного відхилення значень випадкової величини відносно її математичного сподівання:

,

фізична розмірність якого співпадає з розмірністю випадкової величини.

Рис. 2.10. Щільності розподілу випадкових величин з різними дисперсіями

Із означення дисперсії та властивостей математичного сподівання випливає, що

Інколи, при обчисленнях дисперсії, зручніше користуватися саме останнім співвідношенням.

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія невід’ємна, тобто , причому лише для невипадкової функції або константи , тобто

і .

2. Дисперсія випадкової величини , помноженої на постійне число або дійсну невипадкову обмежену числову функцію , обчислюється за наступними формулами

.

3. Для незалежних випадкових величин і

.

Остання властивість може бути розповсюджена на незалежних у сукупності випадкових величин . Для них

.

Причому, в лівій частині останнього співвідношення складові суми можуть бути як зі знаком „+”, так і „−”.

4. Для постійної величини або дійсної невипадкової обмеженої числової функції , з урахуванням властивості 1, маємо:

.

Для векторної випадкової величини вводяться змішані моменти сумісного розподілу. Початковий змішаний момент

і центральний змішаний момент

де .

Величина називається порядком змішаного моменту.

[1] Тут мова йде про моменти будь-якої, але однієї фіксованої випадкової величини.

Поиск по сайту: