Векторні випадкові величини

Розглянутий раніше теоретико-імовірнісний опис випадкових величин можна узагальнити на довільну сукупність випадкових величин: . Цю сукупність можна розглядати як випадковий вектор або випадкову точку у -вимірному евклідовому просторі з випадковими декартовими координатами .

Приклад 2.4. Нехай маємо деяку інформаційну систему (ІС) з виходами (рис. 2.6). Розглянемо значення напруги у фіксований момент часу на кожному із виходів.

Рис. 2.6. Приклад векторної випадкової величини

Тоді можливі значення напруги у момент часу на першому виході будуть зображати собою значення випадкової величини . На другому виході – значення випадкової величини . І так далі. В цілому, можливі значення напруги на всіх виходах і будуть зображати собою значення векторної випадкової величини .

Аналогічно, як і для одновимірної випадкової величини, вводиться багатовимірна функція сумісного розподілу імовірностей векторної випадкової величини.

,

тобто, за означенням, функція дорівнює імовірності події, яка полягає в тому, що випадкова величина не перевищує значення і випадкова величина не перевищує значення і т.д. до випадкової величини включно, тобто йде мова про перетин подій .

Сумісна функція розподілу неперервна зліва і неспадна по кожній змінній .

Окрім того багатовимірна сумісна функція розподілу має такі властивості:

1. , де може дорівнювати будь-якому значенню із сукупності індексів .

2. .

3. Багатовимірна сумісна функція розподілу є симетричною функцією відносно своїх аргументів , тобто

,

де - будь-яка перестановка індексів .

1. Функція розподілу задовольняє умові узгодженості, тобто

, (2.3)

де . Отже із розподілу більшої розмірності завжди можна отримати так званий маргінальний розподіл меншої розмірності за формулою (2.3). Обернене твердження у загальному випадку не вірне. Воно буде вірним лише для незалежних у сукупності випадкових величин . У цьому випадку

.

Змішана похідна -го порядку (якщо вона існує) функції розподілу від змінних

називається -вимірною сумісною щільністю розподілу імовірностей векторної випадкової величини .

Основні властивості -вимірною сумісною щільністю розподілу імовірностей наступні.

1. Вона є невід’ємною функцією

.

2. Багатовимірна сумісна щільність розподілу імовірностей, як і одновимірна, задовольняє умові нормування. Тобто

.

3. Якщо відома багатовимірна сумісна щільність розподілу імовірностей , то відповідна сумісна функція розподілу векторної випадкової величини знаходиться за формулою

.

4. На основі сумісної щільності розподілу імовірностей більшої розмірності завжди можна знайти сумісну щільність розподілу меншої розмірності, тобто

.

5. Для незалежних у сукупності випадкових величин

.

6. Імовірність того, що випадковий вектор в результаті експерименту набуде значення (у вигляді -вимірного вектора), яке міститься у -вимірному кубі: , знаходиться за формулою:

.

Для ілюстрації розглянемо рис. 2.7 з двовимірною щільністю розподілу

імовірностей . Імовірність попадання двовимірного випадкового вектора

Рис. 2.7. Двовимірна сумісна щільність розподілу імовірностей

випадкового вектора

в заштрихований на рисунку прямокутник дорівнює чисельно об’ємові шестигранної фігури і може бути обчислена за формулою

.

Поиск по сайту: