ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЇХ СТАТИСТИЧНІ

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ІМОВІРНІСТЬ

Випадкові події

Розглянемо ідеалізований (математичний) експеримент, який при одних і тих же умовах можна повторювати нескінченну кількість разів. Математична модель експерименту являє собою фіксований комплекс умов У, який передбачає можливість його багатократного повторення. Всяке здійснення експерименту, тобто комплексу деяких умов У, називається випробуванням, а всякий його наслідок, тобто явище, що виникає при здійсненні У, яке будемо позначати в подальшому через , називається елементарною подією. Детально розглянемо експеримент зі скінченою кількістю наслідків . При цьому сукупність іменують простором наслідків або простором елементарних подій. За такого розгляду не є обов’язковою наявність експериментатора – випробування можуть здійснюватися і самі по собі. Виділення простору елементарних подій є першим кроком при побудові моделі експерименту.

Приклад 1.1.Здійснюється однократна перевірка деякого виробу. Звичайною для такого випадку задачею є встановлення придатності виробу. Тому наслідками перевірки можуть бути дві взаємно виключні події: „придатний” або „брак”, тобто в цьому випадку можна взяти - „годний” і - „брак” або навпаки. Інші елементарні наслідки виключені. В цьому прикладі - простір елементарних подій складається із двох елементів.∙

Приклад 1.2.Виконується однократне підкидання грального кубика. В цьому експерименті елементарними подіями можна вважати випадання кількості очок на верхній грані кубика. Таких елементарних подій шість: - випадання одного очка; - випадання двох очок; ...; - випадання шести очок. Таким чином .∙

Звичайно, в експерименті цікавляться перш за все не самим його елементарним наслідком , а його належністю до деякої підмножини всіх елементарних наслідків . До входять наслідки, які об’єднані деякою фізичною чи математичною спільністю (типу білий, чорний, або парний, непарний, або більше, менше деякої константи і т.п.). Підмножини , що належать , коротко записується як , для яких за умовою експерименту можна сказати „наслідок ” чи „наслідок ”, будемо називати подіями і позначатимемо їх латинськими прописними літерами . Відзначимо, що слід розрізняти знаки включення: - знак включення на правах підмножини, частини і - належність до множини в якості елемента, що міститься в ній.

Якщо події є наслідками одного експерименту (фіксовані умови У), то для них існують такі означення та справедливі наступні між ними співвідношення.

1. Подія, яка при випробуваннях може трапитись, а може і не трапитись, називається випадковою.

2. Подія, яка неминуче відбувається при кожному випробуванні, називається вірогідною (цю подію позначимо через ).

3. Подія, яка не може відбутися ні при одному випробуванні, називається неможливою (позначимо її через ).

4. Сумою (об’єднанням) подій і називається подія , що полягає в настанні хоча б однієї із подій або

. (1.1)

Позначення в правій частині (1.1) читається так: множина тих , які належать або , або^* .

Якщо і не мають спільних елементів , то пишуть .

На мові теорії імовірностей - подія, яка полягає в тому, що відбулася або подія , або подія , або обидві ці події.

5. Подія називається складною, якщо знайдуться такі різні що

.

У протилежному випадку подія буде елементарною.

6. Добутком (перерізом) подій і називається подія , яка полягає в настанні обох подій і , і одночасно:

або .

7. Різницею подій і називається подія , яка зводиться до того, що подія виникає, а подія не виникає (тоді і - зв’язні події):

або .

8. Дві події і називаються несумісними, якщо їх сумісна поява є неможливою подією, тобто

.

9. Подія тягне за собою появу події (є її частинним випадком, ), якщо в кожному випробуванні, в якому виникає подія , неминуче виникає і подія (тоді і - зв’язні події).

1. Дві події і називаються протилежними, якщо для них одночасно

і ,

тобто - множина точок із , що не входять в .

1. Події утворюють повну групу несумісних подій (розбиття , при цьому не обов’язково співпадають з - елементарними подіями, але завжди складаються лише із них) якщо:

а) у випробуванні повинна виникнути хоча б одна з них (тобто );

б) всі події попарно несумісні і серед них немає неможливого (тобто при і ). В одному експерименті зі скінченою фіксованою кількістю елементарних наслідків можна по різному виділити повну групу подій (побудувати різні розбиття ).

Прикладом повної групи подій є простір елементарних подій, якщо елементарні події розглядати не як елементи , а як його підмножини.

^*) тут «або» не виключає належність одночасно і , і .

1. Дії над подіями (додавання і множення) мають властивості комутативності, асоціативності, дистрибутивності:

комутативність;

асоціативність;

дистрибутивність.

Дії над подіями зручно ілюструвати за допомогою діаграм Венна (англійський філософ Джон Венн: 04.08.1943 – 04.04.1983). На цих діаграмах простору елементарних подій відповідають усі точки квадрата (див. рис. 1.1), елементарній події відповідає точка квадрата. Позначимо через подію „вибрана точка лежить всередині кола” і через подію „вибрана точка лежить всередині трикутника”. Тоді

Рис. 1.1. Діаграми Венна

події зводяться до попадання вибраної навмання точки квадрата всередину областей, заштрихованих на відповідних фігурах, зображених на рис. 1.1.

Імовірність

Імовірність – об’єктивна властивість події, яка виражається числом, що характеризує можливість появи події в експерименті (міра події).

Наведемо спочатку статистичне і класичне означення імовірностей.

Нехай деяке випробування повторюється разів. І нехай в кожному з цих випробувань подія або виникає один раз, або не виникає зовсім. Якщо в результаті проведення такої серії випробувань подія з’явилася в випробуваннях із (очевидно завжди ), то назвемо частотою події відношення числа до , тобто

.

Природньо, що при повторенні серії із випробувань з тими ж умовами У у загальному випадку ми отримаємо нове значення частоти події :

.

Це можна пояснити тим, що для випадкової події відсутня детерміністична повторюваність і тому не обов’язково , що , хоча цей випадок і не виключається.

Але для нас важливим є те, що при збільшенні кількості випробувань в серіях розмах коливань частоти події зменшується і частота прямує до деякого числа , яке і приймається за імовірність події : . Таким чином

.

Це і є статистичне означення імовірності. Воно було запропоновано Р. Мізесом. Це означення є досить простим, але в нього є суттєвий недолік. В такій концепції означення імовірність втрачає свій характер об’єктивної числової міри деяких реальних явищ [див. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988, стор. 47 - 48].

Розглянемо тепер класичне означення імовірності. Для цього припустимо, що деякому експерименту відповідає простір елементарних подій , причому експеримент характеризується тим, що всі елементарні наслідки „мають одинакові шанси” з’явитися при здійсненні випробування, всі елементарні події рівноможливі. Це припущення є основним в класичному означенні імовірності.

Нехай тепер подія . Це означає, що події „сприяють” елементарних подій із загальної їх кількості , тобто подія виникає кожен раз, як тільки виникає одна із елементарних подій . У цьому випадку імовірність події

.

Ця формула і виражає так зване класичне означення імовірності, згідно з яким імовірність деякої події дорівнює відношенню кількості елементарних подій, що сприяють виникненню події , до загальної кількості усіх елементарних подій, пов’язаних з відповідним експериментом, з урахуванням справедливості гіпотези про їх рівноможливість.

Приклад 1.3.В експерименті з однократним підкиданням правильного грального кубика знайти імовірність події, яка полягає в випаданні кількості очок не менше 4.

В цьому експерименті усього елементарних наслідків (див. приклад 1.2). Сприяють події, що розглядається, . Це елементарні події . Тоді, згідно з класичним означенням, імовірність даної події

.∙

Недоліком класичного означення імовірності є те, що воно зводить поняття „імовірності” до поняття „рівно можливості”, яке само залишається без ясного означення.

На сьогодні найбільш поширеною є логічна схема побудови основ теорії імовірностей, розроблена у 1929 р. академіком А.Н.Колмогоровим. Ця схема опирається на аксіоматичне означення імовірності, сутність якого полягає в наступному.

Експеримент, як ми уже з’ясували, характеризується простором елементарних подій . З елементів цього простору завжди є можливість утворювати деякі множини, що мають назву випадкових подій. Далі розглядається деяка система F множин . Елементи системи F називаються випадковими подіями. Система F має наступні властивості:

1. F в якості елемента містить множину .

2. Якщо множини і належать системі F , то множини , також є елементами F .

Систему F часто іменують алгеброю – якщо в ній скінчена кількість елементів і -алгеброю, якщо ця кількість нескінченна.

Приклад 1.4. Наведемо декілька найпростіших прикладів систем множин, що є алгебрами:

1. F = - вироджений випадок.
2. F = - алгебра, породжена довільною множиною .

3. F = {Сукупність всіх підмножин із }.∙

Означення імовірності опирається на наступні аксіоми.

Аксіома 1. Кожній випадковій події F ставиться у відповідність невід’ємне число , яке називають її імовірністю (невід’ємність імовірності).

Аксіома 2. Вірогідній події ставиться у відповідність число 1, тобто

(нормованість імовірності).

Аксіома 3. Якщо події із F попарно несумісні, тобто при , то

якщо (адитивність імовірності).

Із цих аксіом можна вивести ряд наслідків для імовірності подій.

1. Імовірність неможливої події дорівнює нулеві.

Дійсно, . Тоді згідно з аксіомою 3 , звідки маємо . Зазначимо, що обернене твердження не вірно, тобто не означає, що .

1. Для будь-якої події

.

1. Якщо поява події тягне за собою обов’язково появу події , то .
2. Для будь-якої події

.

1. Нехай і дві довільні події. Оскільки в сумах

і

складові є несумісними подіями, то згідно з аксіомою 3 (див. рис. 1.2)

.

Рис. 1.2. Додавання імовірностей

Звідси випливає формула додавання імовірностей для довільних подій і

. (1.2)

Система аксіом теорії імовірностей несуперечна, тому що реально існують об’єкти, події та явища, які задовольняють всим цим аксіомам.

Система аксіом неповнв: для однієї і тієї ж множини імовірності в системі множин F можна вибирати різними способами. Неповнота системи аксіом теорії імовірностей визвана тим, що в різних задачах можуть зустрічатися явища, при вивченні яких потрібно розглядати одинакові множини випадкових подій, але з різними імовірностями.

Таким чином, при введенні поняття імовірності, потрібно вказувати не лише вихідну множину елементарних подій , але і множину випадкових подій F і визначену на ньому невід’ємну адитивну нормовану міру (функцію) . Сукупність F , називається імовірнісним простором.

Приклад 1.5.Експеримент полягає в контролі одного виробу: подія - виріб приймається, подія - виріб бракується. У цьому випадку

, F =

і довільно задається . Таким чином імовірнісний простір, який визначає цей експеримент, задано.

Умовні ймовірності

Почнемо розгляд цього питання з прикладу, використовуючи лапласівське означення імовірностей, тобто будемо виходити із моделі з рівно ймовірними (рівно можливими) елементарними наслідками ( див. у п. 1.2. класичне означення імовірності).

Приклад 1.6.Розглянемо однократне підкидання грального кубика. Тут , де - кількість очок на верхній грані , Розглянемо події: - випало два очка; - випала парна кількість очок. Імовірність цих подій, згідно з класичним означенням імовірності, . Нехай в результаті однократного підкидання кубика виникла подія . Тоді можна розглянути подію - випадання двох очок за умови, що випала парна кількість очок. Очевидно імовірність цієї події .∙

Таким чином ми приходимо до поняття умовної події і умовної імовірності .

Зупинимось на більш строгих означеннях співвідношень для умовних імовірностей. Якщо розглядається імовірність події за умови, що виникла подія , то така імовірність називається умовною і позначається символом . При означенні умовної імовірності первинний (визначений для експерименту, здійснення якого привело до появи події ) простір елементарних подій після виникнення події переходить (звужується) до простору елементарних подій і складається з тих елементарних подій де - кількість елементарних подій, із яких складається подія , при появі яких виникає подія .

Якщо звернутись до прикладу 1.6, з якого ми починали даний підрозділ, то .

Означення 1.1. Умовною імовірністю події за умови події з називається величина

.

Ми приходимо до нового (звуженого) імовірнісного простору:

F , ,

де присутні всі три елементи імовірнісного простору:

- простір елементарних подій;

F - система (алгебра) подій;

- імовірність (умовна).

Із означення умовної імовірності випливає формула :

, (1.3)

яка носить назву формули множення імовірностей.

Аналогічно можна ввести умовну імовірність

і тоді формула множення імовірностей набуде виду

. (1.4)

Обидві формули рівнозначні.

Властивості умовних імовірностей:

1.

2. якщо

3.

4.

Зокрема, із властивостей 2 і 4 випливає

5.

Означення 1.2.Подія незалежна від події , якщо має місце рівність

Якщо подія незалежна від події , то і подія є незалежною від події , тобто

Для незалежних подій формули множення імовірностей (1.3) і (1.4) набувають такого виду:

. (1.5)

Приклад 1.7.Незалежними є похибки в двох вимірюваннях, виконаних різними спостерігачами різними приладами.∙

Означення 1.3.Події називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-якої події із їх числа і довільних із їх числа події і взаємно незалежні.

Це означення еквівалентно наступному

для усіх .

Із означення 1.3 випливає узагальнення формули множення імовірностей (1.5) для незалежних у сукупності подій :

.

Можна також отримати узагальнення формул множення імовірностей (1.3) і (1.4) на випадок залежних подій

.

В багатьох реальних ситуаціях та чи інша подія може з’явитися лише як випадковий наслідок однієї із несумісних подій , які складають повну групу подій і називаються гіпотезами. Зауважимо, що термін „випадковий наслідок” означає, що кожна із гіпотез може призвести до появи не тільки події , але і деяких інших подій (див. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Умовне графічне зображення схеми гіпотез

Приклад 1.8. Маємо три урни,в кожній з яких містяться червоні, чорні та білі кульки. Вибирається навмання одна із урн і виймається із неї одна кулька. В цьому експерименті маємо три гіпотези ( ): - вибір першої урни; - вибір другої урни; - вибір третьої урни. При виборі однієї із урн (гіпотез) і вийманні потім однієї кульки можуть виникнути такі несумісні події: - колір кульки червоний; - колір кульки чорний; - колір кульки білий.

В схемі гіпотез робиться припущення, що відомі імовірності гіпотез і відомі умовні імовірності події для кожної з гіпотез: . Ставиться задача: визначити безумовну імовірність події , при обчисленні якої приймаються до уваги всі випадки (гіпотези), наслідком яких може бути подія . Аналогічним чином може ставитись задача і відносно подій і т.д.

Приклад 1.9.Якщо звернутися до прикладу 1.8 і вважати що шанси вибору кожної із урн рівноцінні, то імовірності гіпотез . Умовні ж імовірності подій і залежать від кількості кульок у кожній із урн і їх розподілу за кольорам. Наприклад, якщо в першій урні всього кульок 10 і з них 5 – червоних, 1 – чорна і 4 – білих, то .

Відзначимо, що подія тоді і лише тоді, коли виникає одна із подій , причому, ці події несумісні, так же само як і гіпотези . Тому, згідно з правилом складання імовірностей несумісних подій (див. аксіому 3)

. (1.6)

Застосовуючи теорему множення імовірностей (1.3), отримаємо

. (1.7)

Підставляючи тепер (1.7) в (1.6), знаходимо безумовну ймовірність події

.

Остання формула в літературі отримала назву формули повної імовірності.

В цій же схемі гіпотез можна ставити і розв’язувати і таку задачу. Нехай здійснено випробування і виникла подія . Ставиться запитання: з якою із гіпотез слід пов’язати появу події У зв’язку з тим, що викладена ситуація є імовірнісною, то і відповідь на поставлене запитання може бути лише імовірнісною а не детерміністичною. Для вирішення поставленої задачі потрібно обчислити умовну імовірність кожної із гіпотез за умови настання події : . Віддається перевага тій із гіпотез, для якої буде найбільшою знайдена умовна імовірність. Як же знайти

На основі формул множення імовірностей (1.3) і (1.4) для імовірності сумісної появи події і гіпотези маємо

. (1.8)

Беручи до уваги праву рівність в (1.8), запишемо

.

Але за формулою повної імовірності

.

Отже

Останнє співвідношення отримало в літературі назву формули оберненої імовірності або формули Байєса.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЇХ СТАТИСТИЧНІ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

До цього часу ми розглядали з вами випадкові події, пов’язані з тим чи іншим експериментом. Можна сказати, що випадкові події характеризують „якісний” бік експерименту. Цей же розділ присвячений „кількісному” опису експерименту, яке здійснюється на основі поняття випадкової величини.

Означення випадкової величини. Класифікація

Нехай деякий експеримент характеризується імовірнісним простором F, . Співставимо з цим експериментом випадкову величину (стохастичну змінну)

Означення 2.1.Дійсною випадковою величиною називається функція з областю визначення і областю значень , така, що для будь-якого множина тих , для яких , є подією F.

Таким чином, випадкова величина – це правило (функція), згідно з яким кожній елементарній події (а значить і кожній випадковій події F ) ставиться у відповідність число. А так як процесом появи тієї чи іншої події в конкретному випробуванні „керує випадковість”, то випадковим чином набуває конкретних значень (реалізацій) і випадкова величина .

Серед можливих значень випадкової величини , які відповідають різним елементарним подіям , не обов’язково усі різні. Позначимо різні можливі значення випадкової величини через . Введемо позначення

.

Воно означає, що подія „випадкова величина набула значення ” рівносильна події „результатами експериментів є сукупність елементарних подій таких, що вони самі є елементами множини і відповідні їм значення випадкової величини дорівнюють ”.

Позначимо через імовірність цієї події

(запис під знаком суми означає, що підсумовування виконується по тих , для яких , при цьому порядок підсумовування не грає ніякої ролі, оскільки всі доданки невід’ємні).

Якщо випадкова величина може набувати скінчену або злічену кількість різних значень, тобто

або

,

то випадкова величина називається дискретною.

Приклад 2.1.Розглянемо приклад дискретної випадкової величини. Нехай експеримент полягає в тобі, що підкидається монета до першого випадання герба. Для такого експерименту простір елементарних подій складається з нескінченної (але зліченої) кількості послідовностей такого виду: , , , і т.д., де літерою Г умовно позначено випадання герба, а літерою Р ─ випадання решітки. На просторі елементарних подій визначимо випадкову величину наступним чином. Випадкова величина дорівнює кількості підкидань монети до першого випадання герба, тобто , , , і т.д. Отже така дискретна випадкова величина набуває зліченої кількості значень, тобто .

Якщо ж випадкова величина набуває континуальну множину значень, тобто

то ми маємо справу з неперервною випадковою величиною.

Приклад 2.2.Будемо вважати, що для міста Києва температура в червні місяці може коливатися в межах від до . Тоді значення температури повітря в деякій фіксованій точці м. Києва, наприклад о 12 год. дня там буде представляти неперервну випадкову величину, для якої область значень .

Поиск по сайту: