Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Нормальное распределение НСВ



Случайная величина Х, принимающая любые значения от до , имеет нормальное распределение с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид:

.

Нормальный закон распределения (также часто называемый законом Гаусса) имеет исключительное значение в теории вероятностей, т. к. это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Нормальное или близкое к нему распределение имеет огромное число случайных величин, встречающихся нам в жизни. Общим для их поведения является следующее: наиболее часто встречаются (наиболее вероятны) значения случайной величины, близкие к ее среднему арифметическому значению . Чем сильнее отличаются значения от (неважно, в большую или меньшую сторону), тем реже они встречаются (тем менее вероятны).

На рисунке слева приведен вид графиков при различных значениях :

Характерная колоколообразная кривая, изображенная на рисунках, имеет специальное название — гауссиан (гауссова кривая).

Параметр представляет собой математическое ожидание (а также моду и медиану) величины, распределенной по нормальному закону, а параметр – среднеквадратическое отклонение этой величины. Функция распределения в нормальном законе

не имеет аналитического выражения и вычисляется с помощью таблиц вспомогательной функции Ф( ). (Вид графика этой функции приведен выше на рисунке справа). Эта функция имеет различные названия: интеграл (функция) Лапласа, интеграл вероятностей, функция ошибок, функция распределения (нормированного) нормального распределения. Эта функция может не только по-разному называться, но и приводиться в несколько различном виде, что следует учитывать, пользуясь ею.

Рассмотрим наиболее часто встречающуюся задачу: расчет вероятности попадания значений Х в заданный интервал :

.

1) Если ,

то .

2) Если ,

то .

3) Если ,

то .

4) Если ,

то .

5) Если ,

то .

6) Если ,

то .

Пользуясь любым видом функции Ф( ) можно подсчитать, что

.

Таким образом, практически достоверным событием (вероятность которого близка к 1) является попадание значений нормально распределенной величины на конечный промежуток от до . Это обстоятельство позволяет успешно применять нормальный закон для описания поведения многих случайных величин, встречающихся в опыте, значения которых, конечно, меняются не от – до + , а на каком-либо конечном промежутке.

Кроме задачи вычисления вероятности попадания значений функции на интервал, встречается и обратная задача: по заданной вероятности установить интервал, симметричный относительно М(Х), на котором могут находиться значения случайной величины. Обычно задаваемую вероятность называют доверительной, обозначают , а интервал, в котором с вероятностью находятся значения случайной величины – доверительным.

Пусть .

Используя , получим , откуда найдем, что .

В таблице приведены значения при различных .

0,99 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5
2,58 1,96 1,64 1,28 1,04 0,84 0,67

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.