Тема 1. Лінійна алгебра

Частина 1

1. Матриці та вектори.

2. Визначники.

3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

1.1. Матриці та вектори.

Означення. Матрицею розміром n×m називається прямокутна таблиця чисел

Означення. Матриці A=(a_ij) та B=(b_ij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто a_ij=b_ij для всіх значень i та j).

Означення. Сумою двох матриць A=(a_ij) та B=(b_ij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де

c_ij=a_ij+b_ij (i=1,…,m; j=1,…,n). (1.1)

Означення. Добутком матриці A=(a_ij) на число k називається матриця B=k×A вигляду B=k×A=(k×a_ij).

Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).

Означення. Квадратна матриця E=(e_ij) називається одиничною, якщо

,

тобто ця матриця має вигляд

.

Означення. Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями: .

Означення. Добутком матриці на матрицю називається матриця , елементи якої обчислюються за формулою

(1.2)

Приклади.

1. Нехай та .

Тоді , , .

2. Нехай, крім того,

та .

Тоді ,

D×C - не має сенсу,

Зазначимо, що в останньому прикладі А×В ¹ В×А .

Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:

Е×А = А×Е = А (властивість множення на одиничну матрицю);

О×А = А×О = О (властивість множення на нульову матрицю);

k×O = O×k = O A+O = O+A =A;

a(bA) = (ab)A; (Aa)b = A(ab);

A+B = B+A (комутативна властивість додавання);

A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);

(a+b)A = aA+bA;

a(AB) =(aA)B;

(A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB.

Означення. Матрицею A^T, транспонованою до матриці , називається матриця .

Виконуються такі властивості:

(AB)^T = B^TA^T;

(aA+bB)^T = aA^T+bB^T;

(A^T)^T = A.

Частковим випадком матриці є вектор (упорядкована послідовність чисел). Розрізняють вектор-рядок (матрицю-рядок) та вектор- стовпець (матрицю-стовпець) .

Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення матриць:

,

.

Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1, d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:

Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із виробів W1 та W2.

На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей облислюється як добуток матриць

.

Отриманий результат такий:

Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.

Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:

Таблиця A

Таблиця B

Таблиця C

Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих місцях щодо кожного замовлення:

Справді, .

Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:

Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:

.

Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на рисунку 1.1 :

Виріб

4 3 10 15

Комплектуюча Комплектуюча Деталь Деталь

K1 K2 D1 D2

2 3 4 5

D1 D2 D1 D2

Рис. 1.1.

Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.

Побудуємо відповідні матриці.

Матриця входжень деталей у комплектуючих: . Тут рядки відповідають деталям, а стовпці ­ комплектуючим.

Безпосереднє входження деталей у виробі – це вектор , а входження комплектуючих у виробі – вектор .

Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою

.

Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі D2 .

Означення. Нехай A=(a_ij)_{i=1,…,n;j=1,…,n} ‑ квадратна матриця. Оберненою до неї матрицею A^-1 називається матриця, для якої має місце

A×A^-1=A^-1×A=E .

Якщо обернена до A матриця існує, то (A^-1)^-1=A.

Приклад.

Нехай . Тоді .

Справді,

,

.

За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, оскільки запис

є рівнозначний до запису

, де

Розв’язок системи знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену матрицю A^-1 :

,

, (1.3)

.

Відшукання оберненої матриці ­ досить складна математична задача. Проте дії над матрицями реалізовані у багатьох комп’ютерних системах. Зокрема, в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою так званої функції масиву MINVERSE, а множення матриць –за допомогою функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш – Shift, Ctrl та Enter).

1.2. Визначники

Означення. Визначником (детермінантом) матриці другого порядку

називається число .

Означення. Визначником (детермінантом) матриці третього порядку

називається число D(A)=

Приклади:

;

.

Означення. Визначником квадратної матриці A розміру n×n називається число

(1.4)

Сума обчислюється за всіма перестановками (i₁,…,i_n). Величина inv(i₁,…,i_n) ­ це кількість інверсій перестановки (i₁,…,i_n), тобто кількість пар (i_k,i_m) таких, що i_k>i_m , проте i_k розташоване лівіше від i_m .

Легко перевірити, що означення визначника другого та третього порядку задовольняє загальне означення.

Множина визначників задовольняє такі властивості:

1. У разі транспонування матриці значення визначника не змінюється:

.

2. У випадку перестановки двох довільних рядків (або двох довільних стовпців) знак визначника змінюється на протилежний:

.

3. Якщо всі елементи одного рядка (стовпця) матриці є пропорційними до елементів другого рядка (стовпця) цієї матриці, то її визначник дорівнює нулю:

, оскільки елементи третього рядка

є вдвічі більшими від елементів першого.

4. Якщо всі елементи рядка (стовпця) помножити на якесь число, то визначник теж помножиться на це ж число:

.

5. Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне число, то значення визначника не зміниться:

.

Означення. Мінором M_ij елемента a_ij визначника називається визначник розміру (n-1)×(n-1) , який утворюється з визначника викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

Приклад. У визначнику визначники другого порядку є відповідно мінорами елементів a₁, b₁ та c₁.

Означення. Алгебраїчним доповненням A_ij елемента a_ij називається його мінор, узятий зі знаком (+) або (-) так:

якщо сума (i+j) номерів рядка i та стовпця j є парною, то потрібно взяти знак (+), якщо ж ця сума непарна – то знак (-).

Для визначника довільного порядку виконується така

Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.

Зокрема,

= a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+…+a_1nA_1n. (1.5)

Приклад. Обчислити визначник .

Згідно з означенням D=2×8×5+5×0×1+3×3×(-2)-1×8×(-2)-5×3×5-2×0×3=3.

За теоремою (розкладаємо визначник за елементами другого рядка) отримуємо той самий результат:

D = a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+a₂₃A₂₃ = a₂₁(-M₂₁)+a₂₂M₂₂+a₂₃(-M₂₃) =

= =(-3)×31+8×12+(-0)×1 = 3

Таким способом обчислення визначників високих порядків можна послідовно зводити до відшукання визначників щораз менших порядків.

Зазначимо також, що функція MDETERM системи EXCEL дає змогу автоматизувати обчислення визначників досить високих порядків.

Розглянемо довільну (не обов’язково квадратну) матрицю A . Рангом r(A) цієї матриці називається найвищий порядок її мінора, що не дорівнює нулю.

Приклад. Матриця має три мінори третього поряду (всі з яких дорівнюють нулю), дев’ять мінорів другого порядку (з яких деякі дорівнюють нулю, а деякі – ні) та 12 мінорів першого порядку. Отже, для цієї матриці ранг r(A)=2.

Розглянемо систему векторів у n-вимірному просторі. Ця система називається лінійно залежною, якщо існують такі числа k₁,…k_m (не всі з яких одночасно дорівнюють нулю: k₁²+k₂²+…+k_m²>0), що

.

Якщо ж із рівності випливає той факт, що k₁=k₂=…=k_m=0, то система називається лінійно незалежною.

Приклад. Система векторів є лінійно залежною, бо існують числа k₁=1, k₂=1/2, k₃=1 такі, що k₁²+k₂²+…+k_m² = 1+1/4+1 > 0 і одночасно

.

Приклад. Система векторів та є лінійно незалежною, бо рівність , тобто

,

виконується тільки при k₁ = k₂ = 0 .

Легко бачити, що при m > n система векторів завжди є лінійно залежною.

Приклад. Нехай та . Тоді для довільного вектора завжди знайдуться числа k₁ та k₂ такі, що (рис. 1.2):

y

x

Рис. 1.2

Пропорційні вектори завжди лінійно залежні.

Приклад. Нехай . Тоді при k₁=3 та k₂= -1

.

Нехай задана деяка система векторів . Підсистема цієї системи називається базою (базисом), якщо

- ця підсистема лінійно незалежна;

- кількість елементів k цієї підсистеми є максимально можливою.

Приклад. Базисом системи є, наприклад, підсистема .

Приклад. Базисом тривимірного простору R³ є система векторів {(1;0;0;), (0;1;0), (0;0;1)} .

Означення. Нехай - квадратна матриця. Власними значеннями (власними числами, характеристичними числами) цієї матриці називаються такі значення параметра l , які задовольняють рівняння |A‑l×E| =0 , тобто рівняння

(1.6)

Приклад. Обчислити власні значення матриці .

Будуємо рівняння для відшукання власних чисел: .

Розв’язуємо це рівняння:

(1-l)×(4-l)-(-1)×2 = 0;

l² -5l+6=0;

l₁ = 2; l₂ = 3.

Означення. Квадратна матриця називається додатно визначеною, якщо всі її власні числа є додатними.

Теорема. Квадратна матриця є додатньо визначеною тоді і тільки тоді, коли кожен з її діагональних мінорів є додатнім:

a₁₁ > 0;

;

. . . . . . . . .

.

Приклад. Матриця є додатно визначеною, оскільки обидва її власні значення l₁ =2 та l₂ =3 є додатними. Додатну визначеність цієї матриці можна з’ясуватити також за допомогою обчислення мінорів:

a₁₁ = 1 > 0;

.

Означення. Власним (характеристичним) вектором матриці A називається вектор такий, що A× = l× , де l - власне число матриці A.

Приклад. Вектори та є власними векторами (що відповідають власним числам l₁ =2 та l₂ =3) матриці , оскільки

та .

3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими

.

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю ­ через .

Можливі три такі випадки:

- ранг матриці r(A)=2. Вектори (a₁;b₁;c₁) та (a₂;b₂;c₂), отже, є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x₀;y₀). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

- ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори (a₁;b₁;c₁) та (a₂;b₂;c₂) є лінійно незалежними, а вектори (a₁;b₁) та (a₂;b₂) – лінійно залежними. Рівняння системи ­ це дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

- ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r(A)=r(B)=1. Вектори (a₁;b₁;c₁) та (a₂;b₂;c₂) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими

.

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

- усі три площини перетинаються в одній точці (x₀;y₀;z₀). Ранг r(A)=3. Система має єдиний розв’язок (x₀;y₀;z₀);

- усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;

- хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими

Можливі лише такі випадки:

- дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система розв’язків не має;

- обидві площини співпадають. Вектори (a₁;b₁;c₁;d₁) та (a₂;b₂;c₂;d₂) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;

- площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими ‑ означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему

Перенесемо змінну x у праву частину: .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

-8y = 32-4x

Розв’язуючи отриману систему , знаходимо:

y = (1/2)x-4 ; z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд

{(x; -4+0,5x;7)|xÎR}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел

(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7) , а при x=5 – (10; 1; -7). Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не є.

Розглянемо методи розв’язування систем n лінійних рівнянь з nневідомими

.

Одним із способів є використання оберненої матриці:

.

Розглянемо також правило Крамера.

Нехай D ‑ визначник матриці .

Введемо позначення

(i=1,…,n).

Виконується така теорема: Якщо D¹0, то система

має єдиний розв’язок, який знаходиться за такими формулами (формулами Крамера):

. (1.7)

Якщо D=0 і в множині {D₁,…,D_n} є ненульові елементи, то система рівнянь розв’язків не має. Якщо ж D=D₁=…D_n=0 , то система має безліч розв’язків.

Приклад.

.

Тут

Отже, x₁=81/27=3; x₂=(-108)/27=-4; x₃=(-27)/27=-1; x₄=27/27=1.

У шкільному курсі математики вивчають метод послідовного вилучення невідомих (метод Гауса). Ми наведемо модифікований метод вилучення невідомих – так званий метод Жордана-Гауса.

Розглянемо схему Жордана-Гауса на прикладі розв’язування конкретної системи ,

яку у матричному вигляді записують так: .

Початкова таблиця має такий вигляд:

.

Числа -2 та -3 ‑ це елементи другого та третього рядка (взяті з протилежним знаком), які розташовані в тому стовпці, де в першому рядку є число 1.

Множимо перший рядок на числа -2 та -3 й отримуємо, відповідно, вектори (-2; -4; 6; 12) та (-3; -6; 9; 18). Додаємо ці вектори до другого і третього рядків:

.

Ділимо всі елементи другого рядка на -5, роблячи діагональний елемент таблиці одиничним:

.

Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0; -2; 14/5; 22/5) і (0; 4;-28/5;-44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків:

,

і робимо ще один діагональний елемент одиницею (ділимо на 22/5):

.

На останньому кроці множимо третій рядок на 1/5 та 1/7 і додаємо утворені вектори (0;0;1/5;3/5) і (0;0;7/5;21/5) до першого та другого рядка:

, тобто отримуємо систему рівнянь

, розв’язками якої є числа x₁= -1; x₂=2; x₃=3.

Якщо під час обчислень у схемі Жордана-Гауса деякий рядок повністю стає нульовим ( 0 0 0 | 0 ), то це є ознакою того факту, що система має безліч розв’язків.

Якщо ж цей рядок стає нульовим за винятком вільного члена

( 0 0 0 | b_i¹0 ), то система розв’язків не має.

Приклад. Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.

Нехай у деякій державі є три галузі господарства: промисловість, сільське господарство та виготовлення ЕОМ. Нехай x₁, x₂, x₃ ‑ обсяги виробництва у цих галузях. Нехай також y₁, y₂ y₃ ‑ обсяги кінцевого виробництва (виробництва на продаж, виробництва без внутрішнього споживання) цих галузей (рис. 1.3).

a₁₁x₁ a₂₂x₂

a₁₂x₂

1 2 y₂

Промисловість с/г

y₁ x₁ x₂

a₂₁x₁

a₃₁x₁ a₁₃x₃ a₂₃x₃ a₃₂x₂

Виготовлення

ЕОМ

x₃ y₃

a₃₃x₃

Рис. 1.3.

Нехай a_ij ‑ кількість одиниць продукції i^-ої галузі, яка йде на виробництво однієї одиниці продукції j^-ої галузі. Зокрема, кожна одиниця продукції сільськогосподарської галузі (галузі номер 2) використовує a₁₂ одиниць продукції промисловості (галузі номер 1) та a₃₂ одиниць продукції галузі, яка виготовляє комп’ютери.

Тоді сільське господарство в цілому використовує для випуску своєї продукції a₁₂x₂ одиниць продукції промисловості та a₃₂x₂ одиниць продукції комп’ютерної галузі. Крім того, сільське господарство витрачає a₂₂x₂ одиниць власної продукції (наприклад, відгодівля худоби потребує певних затрат кормів).

Отже, для другої галузі маємо таке рівняння балансу:

x₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + y₁

Записавши аналогічні рівняння для кожної із галузей, отримуємо систему лінійних рівнянь:

.

Цю систему для випадку n змінних записують також у вигляді

та в матричному вигляді

(1.8)

Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки.

Із формули (1.8) випливає, що вектор кінцевої продукції в моделі Леонтьєва визначається формулою

, (1.9)

а вектор загального випуску –

. (1.10)

Поиск по сайту: