Первый замечательный предел. Следствия из первого замечательного предела

Второй замечательный предел. Следствия из второго замечательного предела.

Первый замечательный предел.

Следствия из первого замечательного предела

Первый замечательный предел имеет вид

(1)

и он позволяет раскрывать неопределенность , причем в пределе присутствуют тригонометрические функции.

Наряду с формулой (1) можно также непосредственно доказать следующие формулы (следствия из первого замечательного предела)

. (2)

На практике же при решении примеров применяются не формула (1) и ее следствия (2), а следующие формулы

, , , (3)

или цепочка эквивалентностей

при . (4)

Пример 1. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) Для решения предела воспользуемся цепочкой эквивалентности:

, так как при ,

, так как при .

В результате получим .

2) В пределе , чтобы воспользоваться цепочкой эквивалентности

, так как при ,

(воспользовались формулой разности косинусов

).

В результате получим .

3) Упростим числитель и знаменатель (выделим синусы), чтобы привести к цепочке эквивалентностей:

,

.

Тогда применяя цепочку эквивалентностей, получим

.

Пример 2. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) Для решения воспользуемся преобразованиями

Чтобы применить первый замечательный предел, сделаем линейную замену переменной: , при этом . Если , то . Тогда получим

.

2) Сделаем замену переменной . При этом и если , то . Тогда

.

3) Учитываем, что . Сделав линейную замену переменной ( и при ), получим

(использовали цепочку эквивалентностей , ).

Второй замечательный предел. Следствия из второго

Замечательного предела.

В более подробном курсе математического анализа доказывается, что функция при имеет пределом число , то есть

. (1)

На практике при решении примеров используется следующая формула

. (2)

Формула (2) применяется для вычисления пределов вида (их называют “пределами типа ”), причем , (то есть раскрытие степенно-показательной неопределенности ). Покажем на примерах применение формулы (2).

Пример 1. Вычислить пределы: 1) ; 2) .

Решение

1) Первоначально оцениваем предел и получаем неопределенность . Для решения “пределов типа ” с использованием формулы (2) сначала необходимо выделить функцию ( ) и затем “подогнать” предел под формулу (2). В нашем примере приравняем дробь к выражению : . Тогда отсюда , причем . Применяя формулу (2), получим

.

После выделения числа по формуле (2) в последнем пределе необходимо вернуться к переменной , учитывая, что :

.

2) Имеем

.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. В пределе примем , . Последовательно подгоняя предел под формулу (8.2), получаем

Вычисляем отдельно предел

.

Докажем далее следующие вспомогательные пределы ( , )

, , (3)

, . (4)

Для доказательства формулы (3) достаточно подогнать предел под формулу (2) (используя свойство логарифма , , ):

.

Для доказательства формулы (4) сначала сделаем замену переменной . При этом , , причем при имеем . Теперь подгоняем под формулу (2)

На практике при решении примеров удобнее пользоваться следующими эквивалентностями (следствиями из формул (3), (4))

при , (5)

при , (6)

при , (7)

при . (8)

На основании формул (2), (4) докажем формулы ( )

, (9)

при . (10)

Выделим в числителе число (формула (2)):

а затем применим формулу (4)

.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. В пределе сделаем замену , при этом , при . Используя эквивалентности (6), (8), получим

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Вынесем в числителе за скобки ( ), а в знаменателе воспользуемся формулой разности синусов. Тогда получим

.

Используя далее цепочки эквивалентностей ,

, при (формула (7)), получим

.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. В пределе делаем замену переменной ( , ) и используем цепочку эквивалентности (5):

.

Для вычисления последнего предела воспользуемся методом сопряженных выражений:

.

Лекция 6

Поиск по сайту: