Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основные элементарные функции, их графики



4. Построение графиков функций: , , , , , по заданному графику функции .

 

Основные элементарные функции, их графики

Определение 2.1. Основными элементарными функциями называются следующие функции (классы функций):

1) Степенные функции вида ( );

2) Показательные функции вида ( );

3) Логарифмические функции вида ( );

4) Тригонометрические функции: , , , ;

5) Обратные тригонометрические функции: , , , .

1. Степенные функции

В таблице 2.1 даны некоторые (наиболее часто используемые) функции, описаны основные характеристики и построены их графики ().

Таблица 2.1.

Графики элементарных степенных функций Степень , вид функции, основные характеристики

, , характеристики: , нечетная, строго возрастающая, неограниченная, график – прямая;   , (частные случаи , ), характеристики: , , четная, строго возрастающая на , строго убывающая на , неограниченная, график – парабола;  
, (частные случаи , ), характеристики: , нечетная, строго возрастающая;
, (частные случаи ), характеристики: , , четная, строго возрастающая на , строго убывающая на , неограниченная. При неограниченном увеличении переменной (обозначаем как , знак “ ” читается “стремится”) значения функции сколь угодно мало отличаются от числа 0 (обозначаем как ).
Соответственно при неограниченном уменьшении переменной ( ) также . В обоих случая график функции приближается к оси абсцисс, прямая называется горизонтальной асимптотой. При стремлении переменной к нулю (справа и слева, ) значения функции неограниченно увеличиваются ( ), график функции неограниченно приближается к оси ординат, прямая вертикальная асимптота.
, (частные случаи ), , нечетная, строго убывающая, неограниченная, график функции называется гиперболой, при имеем , при имеем , прямая горизонтальная асимптота, при (справа) , при (слева) , прямая вертикальная асимптота.
, (частные случаи ), характеристики: , , строго возрастающая, неограниченная; при имеем , при имеем .
, (частные случаи ), характеристики: , , нечетная, строго возрастающая, неограниченная, при имеем , при имеем .

Показательные функции

Показательная функция имеет вид ( ), где число называют основанием. От него зависят характеристики функции и график (см. таблица 2.2). Характерными (особыми) точками графика этой функции являются точки , , .

Таблица 2.2.

График функции Характеристики Функции
, , строго возрастающая на , не ограниченная, при имеем , при имеем , прямая – горизонтальная асимптота.
, , строго убывающая на , не ограниченная, при имеем , при имеем , прямая – горизонтальная асимптота.  

Частным случаем показательной функцией является экспоненциальная функция ( ).

 

3. Логарифмические функции

Логарифмическая функция имеет вид ( ), где число называют основанием функции. Характеристики функции и ее график зависит от основания (см. таблица 2.3). Характерными (особыми) точками графика этой функции являются точки , , .

 

 

Таблица 2.3.

График функции Характеристики Функции
y

, , строго возрастающая на , нуль при , не ограниченная, при имеем , при (справа) , прямая – вертикальная асимптота.
, , строго убывающая на , нуль при , не ограниченная, при имеем , при имеем , прямая – вертикальная асимптота.

Частными случаями логарифмической функции являются:

1) логарифмическая функция натурального основания ,

2) логарифмическая функция десятичного основания .

Определение 2.2. Пусть задана функция . Если каждому значению из множества можно поставить в соответствие единственное значение из множества , то для функции задана обратная функция . При этом , и функции , называются взаимно-обратными функциями.

Не для каждой функции на области определения можно найти обратную к ней функцию. Пусть , , . Выражая , получим или , то есть одному значению соответствуют два различных значения , что противоречит определению функции.

Примем без доказательства следующее утверждение (см. рис. 2.1): чтобы у функции на всей области определения существовала обратная функция необходимо и достаточно, чтобы функция на всей области определения была строго монотонной; при этом монотонной будет и обратная функция.

Например, показательная функция ( , ) строго возрастает на (при ). Поэтому для нее существует обратная функция (выражаем ): – логарифмическая функция ( , ). После замены переменных ( ) получим . Итак, показательная и логарифмическая функции – взаимно-обратные функции. Если две взаимно-обратные функции зависят от одной переменной , то их графики симметричны относительно прямой (рис.2.1). Рис. 2.1.

Пример 2.1. Для функции найти обратную функцию.

Решение. Можно проверить, что функция строго возрастает на области определения . Значит, для нее существует обратная функция. Выразим переменную через переменную :

, , , .

Итак, . Обратную функцию запишем от переменной (то есть заменим на , а – на ), получим: . ■

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.