Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Понятие предела Ф1П в конечной точке, на бесконечностях



Пусть – функция переменной , заданная на области определения . Зададим некоторое число .

Определение 1. Точка называется предельной точкой для области определения функции , если эта функция определена на некотором малом интервале , быть может, кроме самой точки .

В математическом анализе интервал называют окрестностью точки . Согласно определению, точка может входить в область определения, а может и не входить. Главное, чтобы для этой точки можно было найти такой достаточно малый интервал, в каждой точке которого функция была определена (за исключением, быть может, самой точки ).

Отметим важный факт. Для всех основных элементарных функций, если , то точка является предельной точкой для .

Пример 1. Рассмотрим функцию . Она не определена при . Но точка является предельной точкой для области определения , так как функция определена справа и слева от точки .

Введем понятие предела функции одной переменной в конечной предельной точке . Пусть переменная приближается к точке , то есть придаем переменой значения, сколь угодно близкие к , но не равные . Это обозначаем в виде и говорим “ стремится к . Может оказаться при этом, что соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа . Число называют конечным пределом функции (или просто пределом) в точке , и обозначают . При этом говорят, что функция сходится к числу при .

Определение 2. Число называется пределом функции в точке ( ), если для всех значений переменной , сколь угодно мало отличающихся от (быть может, кроме самой точки ), соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от числа .

Пример 2. Пусть , – предельная точка для . Упрощая функцию, получим (при ). Так в определении предела функции не существенно, принадлежит ли предельная точка области определения или не принадлежит, то при получаем . Значит,

.

Отметим важный факт, который позволяет практически вычислять пределы функций в конечных точках. Если функция является элементарной (составлена из основных элементарных функций) и точка , то предел функции в точке равен значению функции в этой точке, то есть

.

Пример 3. Вычислить: 1) ; 2) .

Решение. 1) Имеем , . Тогда по формуле (4.1) вычисляем (символом далее обозначаем подстановку предельной точки в функцию и называем первоначальной оценкой предела).

2) Имеем , . Тогда по формуле (4.1) вычисляем .

Пусть функция определена на интервале . Тогда несобственную точку считают предельной точкой. Будем неограниченно увеличивать значения переменной ( ) и обозначаем . Если при этом окажется, что соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа , то число называют пределом функции на и обозначают .

Аналогично определяют предел функции на , если функция определена на интервале и обозначают .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.