ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ВЫБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Большинство применяемых в практике контроля статистических методов основано на предположении, что распределение контролируемого признака подчиняется определенному теоретическому закону (нормальному, биноминальному, пуассоновскому и так далее) с параметрами, либо оцениваемыми по выборке, либо заранее известными. Применению этих методов должна предшествовать проверка по данным выборочных наблюдений гипотезы о законе распределения.

Чаще всего на практике имеют дело с нормальным распределением. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос дан А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме теории вероятности. Приведем следствие из нее: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Функция плотности нормального закона распределения имеет вид , а интегральная функция распределения -

У нормального распределения два параметра (r =2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Их оцениваем по выборке: .

Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой .

1) Для нормального закона средняя арифметическая , мода и медиана равноправны, как характеристики центра распределения:

У нас: . Как видно, значения этих величин отличаются друг от друга. Это можно объяснить тем, что три интервала имеют одинаковую частоту, которая является максимальной.

2) У кривой нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

У нас: . Как видно, значение коэффициента асимметрии можно считать равным нулю, тогда как значение коэффициента эксцесса значительно отличается от нуля. Это можно объяснить неоднородностью статистического материала.

3) В случае нормального распределения справедливо следующее условие:

.

Проверим выполнение этого условия для нашего примера. В нашем случае выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса равны , следовательно, условие выполнено, а именно для : , ; для ,

4) На практике для выдвижения гипотезы о нормальном распределении используют правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, т.е. все значения случайной величины должны попасть в интервал: .

В нашем случае все значения величины попадают в интервал , равный , т.к.

Рисунок 5 - Правило 3-х сигм.

Таким образом, у нас есть основания предположить, что изучаемая случайная величина распределена по нормальному закону (нулевая гипотеза)

.

Поиск по сайту: