Cравнение бесконечно малых функций

Определение. Если , то f(x) называется бесконечно малой при x®a.

Пусть функции a(х) и b(х) являются бесконечно малыми при х®х . Тогда:

1) если , то a(х) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем b(х) при х®х ;

2) если , где А -конечное число, отличное от нуля, то a(х) и b(х) называются бесконечно малыми функциями одного порядка при х®х ;

3) если , то a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями при х®х . При этом пишут:

a(х)~b(х).

Аналогичные определения можно сформулировать и при х®+¥, х®-¥, х®¥, х®х -0, х®х +0.

При вычислении пределов пользуются следующей теоремой: предел произведения или частного бесконечно малых функций не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Пусть a(х) - бесконечно малая функция при х®х . Имеют место следующие эквивалентности при х®0:

1) sina(х)~a(х); 2) tga(х)~a(х);

3) arcsina(x)~a(x); 4) arctga(x)~a(x);

5) log(1+a(x))~ ; 6) ln(1+a(x))~a(x);

7) a ~a(x)lna; 8) e ~a(x);

9) (1+a(x)) ~аa(х).

Пример 1. Найти .

Решение. Так как sin x ~ x, a arctg 2x ~ 2x при х®0, то

.

Пример 2. Найти .

Решение. Здесь при х®2, поэтому

.

Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области.

Те точки области определения функции, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Различают разрывы двух видов.

1. Если в точке а существуют односторонние пределы функции, но, по крайней мере, один из них не равен значению данной функции в точке а, то говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв первого рода. При этом возможны следующие случаи:

f(a-0)=f(a+0)¹f(a)

(в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет устранимый разрыв);

f(a-0)¹f(a+0)

(в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв с конечным скачком. При этом число ïf(a+0) - f(a-0)ïназывают скачком функции f(x) точке а).

2. Функция f(x) в точке а имеет разрыв второго рода, если в этой точке по крайней мере, один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, причём в точке а она непрерывна справа (f(a+0)=f(a)), а в точке в - слева (f(b-0)=f(b)).

Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных свойств. Приведём одно из них.

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда на интервале существует такая точка c, в которой данная функция равна нулю.

В задачах 1-5 определить, какого рода разрывы имеют следующие функции в точке а

Пример 1.

Решение. Если х®3-0, то и . Если х®3+0, то и . Так как один из односторонних пределов бесконечен, следовательно, а=3-точка разрыва 2-го рода.

Пример 2. , а=1.

Решение. Выделим целую часть . Если , то и . Если х®1+0, то и .

Таким образом, функция при х®1 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х=1 является точкой разрыва 2-го рода.

Пример 3. , а = -5.

Решение. Если , то и . Если , то и . Итак, при х® -5 функция имеет левый и правый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, х = -5 является точкой разрыва 1-го рода. Разность между правым и левым пределами (скачок) в точке разрыва равна .

Пример 4. , а = -1.

Решение. ,

. Итак,

, но не равны , значит, а=1 является устранимой точкой разрыва.

Пример 5. ,

Решение. Если х®1-0, то . Если х®1+0, то . Один из односторонних пределов бесконечен, следовательно, -точка разрыва 2-го рода.

Поиск по сайту: