Предел числовой последовательности и функции

Пределы числовой последовательности и функции. Непрерывность функции. Дифференцирование функции

Модуль-1 (МА)

Курск 2005

Составитель: З.Г.Гончарова

УДК 517

Рецензент

Кандидат технических наук, доцент кафедры

высшей математики Н.А. Моргунова

Пределы числовой последовательности и функции. Непрерывность функции. Дифференцирование функции[Текст]: методические указания и индивидуальные задания. Модуль-1 по математическому анализу / сост.: З.Г.Гончарова; Курск. гос. техн. ун-т; Курск, 2005. 41 с., табл. 11. Библиогр.: 5 назв.

Излагаются краткие методические рекомендации по темам математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, непрерывность функции, дифференцирование функции. В работе представлены 50 вариантов индивидуальных заданий.

Методические указания и индивидуальные задания предназначены для студентов технических специальностей.

.

Текст печатается в авторской редакции

ИД №06430 от 10. 12. 2001.

Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л. Уч.-изд. л. .Тираж 50 экз. Заказ ……. Бесплатно.

Курский государственный технический университет.

Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

Введение………………………………………………………………4

1. Предел числовой последовательности и функции………………5

2. Сравнение бесконечно малых функций………………………...10

3. Непрерывность функции………………………………………...11

4. Дифференцирование функции…………………………………..14

4.1. Производная сложной функции…………………………….14

4.2. Производная функции, заданной в неявном виде…………15

4.3. Производная функции, заданной параметрически………...16

4.4. Логарифмическое дифференцирование……………………17

5. Индивидуальные задания………………………………………...19

Контрольные вопросы…………………………….………………...40

Список рекомендуемой литературы……………………………….41

Введение

Основной формой обучения студентов является самостоятельная работа с учебником и учебными пособиями. Поэтому каждый студент с самого начала занятий должен выработать для себя рациональную систему работы над курсом, постоянно практикуясь при этом в решении задач. В противном случае усвоение и практическое использование материала затруднены. Чрезвычайно важны систематические занятия. Работа урывками не приносит положительных результатов.

Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что теорию они знают, а решать задачи не умеют. Данная работа содержит методические указания по выполнению модуля системы РИТМо, который способствует развитию индивидуального творческого мышления, обеспечивает ритмическую работу студента при изучении разделов математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, дифференцирование функции, исследование функции на непрерывность.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, методы и способы решения задач. Рассмотрение решения типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности. Здесь же представлены индивидуальные задания, которые даны в объеме 50 вариантов. Номер варианта дает лектор. Он приводит общую нумерацию студентов в потоке.

Для подготовки к защите модуля представлен список контрольных вопросов.

Для выполнения модуля достаточно аккуратно записанных лекций и внимательного изучения методических рекомендаций, предложенных в данном учебном пособии. Кроме того, весь теоретический материал по данным темам хорошо представлен в учебных пособиях, указанных в списке литературы.

Предел числовой последовательности и функции

Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого e>0 найдётся такое число d>0, что из неравенства следует неравенство .

Определение 2. Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке а, если для любого найдётся такое число , что из неравенства следует неравенство .

Для обозначения правого (левого) предела функции f(x) в точке а используют следующую символику: .

Критерий существования предела. Для того, чтобы в точке существовал предел функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны между собой оба односторонних предела

.

Достаточно распространенными в курсе математики являются последовательности, то есть функции , заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой функции принимает только значения из множества натуральных чисел, его обозначают не х, а n. Для последовательностей f(n) достаточно часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента n (при ).

Определение 3. Число В называется пределом последовательности f(n), если для произвольного существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

При вычислении пределов обычно используют не определение предела, а теоремы о пределах и приёмы, которые мы обобщим, оформив результат в форме табл. 1.

Таблица 1

Практическое вычисление пределов

Вычисление предела функции
Основные этапы	Пример
1.Пользуясь непрерывностью функции f(x), пробуем подставить значение x = а в функцию f(x)
2.Если вычисляется предел при х®¥ и имеется неопределенность типа , то пробуем в числителе и знаменателе вынести за скобки переменную в наивысшей степени (или числитель и знаменатель делим на переменную в наивысшей степени)
3.Если в результате подстановки х=а получили выражение типа , то:
а) пробуем числитель и знаменатель разложить на множители	=

Продолжение табл.1

б) если в числитель или знаменатель входят выражения с квадратным или кубическим корнями, то умножаем числитель и знаменатель на соответствующие выражения, чтобы избавиться от заданных корней (иногда вводят новую переменную)	1 способ 2 способ Обозначим . Тогда . При x®4, t®2. Тогда
в) если под знаком предела стоят тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то такие пределы приводятся к 1-му замечательному пределу	Сократив числитель и знаменатель на переменные, которые стоят за скобками, учитывая, что , и учитывая первый замечательный предел и его вариации, получаем, что искомый предел равен:

При нахождении пределов вида следует иметь в виду, что:

1) если существуют конечные пределы и , то

2) если и , то вопрос о нахождении предела С решается непосредственно;

3) если , то есть имеем неопределённость вида , то используем 2-ой замечательный предел или

Пример 1. Найти

Решение. Здесь ,

следовательно, .

Пример 2. Найти .

Решение. Имеем

Поэтому .

Пример 3. Найти .

Решение. Здесь то есть имеем неопределённость вида . В этом случае, прежде чем применить 2-ой замечательный предел, произведём следующие преобразования:

Можно найти предел проще, не прибегая к общему приёму, а именно

Замечание. Если существует и положителен то

Поиск по сайту: