Непрерывность показательной функции и логарифмической функции , а также теорема о непрерывности сложной функции позволяют утверждать, что степенно-показательная функция непрерывна всюду в области определения и
.
Пример 1. Найти а) ; б) ; в) .
Решение. а) При основание , показатель . Поэтому
= .
б) При основание , показатель :
.
в) При основание , показатель :
.▲
Особый интерес представляют случаи, когда при вычислении предела степенно-показательной функции получаем неопределённость вида , или . Неопределённость вида (т.е. основание , а показатель ) раскрывается с помощью второго замечательного предела.
Теорема.Предельное значение функции при существует и равно e (второй замечательный предел):
(1)
Следствие 1.Второй замечательный предел можно записать и в виде
(2)
Пример 2. Вычислить = .
Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (1):
▲
Пример 3. Вычислить = .
Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (2):
.▲
Формулам (1) и (2) можно придать другой вид. При стремлении аргумента к некоторому значению основание , значит, его можно представить в виде , где - бесконечно малая в точке функция. Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом в виде (1) или (2), надо в показателе иметь бесконечно большую в точке функцию :
(3)
Пример 4. Вычислить = .
Решение. Основание при , здесь - бесконечно малая функция при . Чтобы воспользоваться формулой (3), надо в показателе поставить бесконечно большую функцию = :
,
так как .▲
Пример 5. Вычислить = .
Решение. Функция при , поэтому её можно представить в виде = , при :
, .
Значит, в показателе надо поставить = :
Здесь учтено, что ▲
Следствие 2.Предельное значение функции при существует и равно :
. (4)
В частности,
. (5)
Действительно,
.
Пример 6. Вычислить .
Решение. Аргумент логарифма представлен в виде суммы , где - бесконечно малая при функция. Чтобы воспользоваться формулой (5), надо логарифм разделить на :
.
Здесь ▲
Следствие 3.Предельное значение функции при существует и равно :
. (6)
В частности,
. (7)
Действительно, введём новую переменную , при . В силу формулы (4) получаем:
.
Пример 7. Найти .
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (7), надо в знаменателе записать бесконечно малую в точке функцию :
.▲
Пример 8. Найти .
Решение. Первый способ. Сначала представим числитель в виде , а затем воспользуемся теоремой о пределе произведения, формулой (7) и первым замечательным пределом:
.
Второй способ. В числителе вычтем и прибавим единицу, в результате приходим к разности пределов:
.
Найдем
и .
Теперь .
Пример 9.Найти .
Решение. Прежде всего преобразуем числитель к виду , прибавляя и вычитая единицу:
.
Остаётся вычислить
,
.
Значит, =1. ▲
Замечание. Неопределённости вида и научимся раскрывать позже с помощью правила Лопиталя.