Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Второй замечательный предел



Непрерывность показательной функции и логарифмической функции , а также теорема о непрерывности сложной функции позволяют утверждать, что степенно-показательная функция непрерывна всюду в области определения и

.

Пример 1. Найти а) ; б) ; в) .

Решение. а) При основание , показатель . Поэтому

= .

б) При основание , показатель :

.

в) При основание , показатель :

.▲

 

Особый интерес представляют случаи, когда при вычислении предела степенно-показательной функции получаем неопределённость вида , или . Неопределённость вида (т.е. основание , а показатель ) раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Теорема.Предельное значение функции при существует и равно e (второй замечательный предел):

(1)

Следствие 1.Второй замечательный предел можно записать и в виде

(2)

Пример 2. Вычислить = .

Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (1):

Пример 3. Вычислить = .

Решение. Здесь при основание , показатель , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме (2):

.▲

Формулам (1) и (2) можно придать другой вид. При стремлении аргумента к некоторому значению основание , значит, его можно представить в виде , где - бесконечно малая в точке функция. Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом в виде (1) или (2), надо в показателе иметь бесконечно большую в точке функцию :

(3)

Пример 4. Вычислить = .

Решение. Основание при , здесь - бесконечно малая функция при . Чтобы воспользоваться формулой (3), надо в показателе поставить бесконечно большую функцию = :

,

так как .▲

Пример 5. Вычислить = .

Решение. Функция при , поэтому её можно представить в виде = , при :

, .

Значит, в показателе надо поставить = :

Здесь учтено, что

Следствие 2. Предельное значение функции при существует и равно :

. (4)

В частности,

. (5)

 

 

Действительно,

.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Аргумент логарифма представлен в виде суммы , где - бесконечно малая при функция. Чтобы воспользоваться формулой (5), надо логарифм разделить на :

.

Здесь

Следствие 3. Предельное значение функции при существует и равно :

. (6)

В частности,

. (7)

Действительно, введём новую переменную , при . В силу формулы (4) получаем:

.

Пример 7. Найти .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (7), надо в знаменателе записать бесконечно малую в точке функцию :

.▲

Пример 8. Найти .

Решение. Первый способ. Сначала представим числитель в виде , а затем воспользуемся теоремой о пределе произведения, формулой (7) и первым замечательным пределом:

.

Второй способ. В числителе вычтем и прибавим единицу, в результате приходим к разности пределов:

.

Найдем

и .

Теперь .

Пример 9.Найти .

Решение. Прежде всего преобразуем числитель к виду , прибавляя и вычитая единицу:

.

Остаётся вычислить

,

.

Значит, =1. ▲

Замечание. Неопределённости вида и научимся раскрывать позже с помощью правила Лопиталя.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.