Отношение многочленов. Иррациональность

Исследуем поведение многочлена при стремлении аргумента к . После преобразования

становится очевидным (теоремы о пределе суммы и произведения), что , знак при зависит только от знака старшего коэффициента , а при - от знака и от чётности степени многочлена .

Пример 1. Как ведут себя многочлены и при стремлении аргумента к ?

Решение.

1) ,

т.к. выражение в скобках стремится к 2>0, а множитель .

2) ,

здесь знак результата определяет множитель .

3) ,

т.к. выражение в скобках стремится к -5<0, а множитель .

4) ,

здесь знак результата в силу чётности множителя опять определяет знак старшего коэффициента. ▲

Таким образом, при стремлении аргумента к вычисление предела отношения двух многочленов всегда приводит к неопределённости вида .

Пример 2. Найти а) б) .

Решение. а) Вынесем за скобки и в числителе, и в знаменателе старшую степень :

.

После сокращения на неопределённости не осталось: теперь и числитель, и знаменатель по теореме о пределе суммы при имеют конечные пределы, причём предел знаменателя равен . В силу теоремы о пределе частного

.

б) Вынесем за скобки старшую степень числителя :

.

Теперь и числитель, и знаменатель при имеют конечные пределы, но предел знаменателя (суммы трёх бесконечно малых) равен нулю. Так как знаменатель - бесконечно малая при функция, то частное - бесконечно большая функция:

При наличии иррациональности неопределённость раскрывается так же, как и для натурального аргумента .

Пример 3.Найти предел функции при .

Решение. Данная функция при есть отношение двух бесконечно больших функций (неопределенность вида ). После того, как разделим и числитель, и знаменатель на (старшую степень), проблем не остается:

. ▲

Пример 4.Найти = .

Решение. В числителе старшая степень равна , в знаменателе старшая степень - тоже . Разделим на и числитель, и знаменатель:

.

Теперь и числитель, и знаменатель имеют при конечные пределы, причём предел знаменателя равен . В силу теоремы о пределе частного получаем . ▲

Пусть и , тогда

При этот результат был получен ранее, когда аргументом было натуральное число , а не непрерывно изменяющаяся переменная .

Пример 5.Найти

Решение. Степени многочленов и одинаковы, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях. Так как в числителе слагаемое повторяется 10 раз, получаем . ▲

Пример 6.Найти .

Решение. Раскрывая скобки, преобразуем числитель к виду

,

а знаменатель – к виду .

Получаем . Степени числителя и знаменателя одинаковы, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: .▲

Пример 7.Найти .

Решение. Чтобы определиться со старшей степенью числителя и знаменателя, воспользуемся биномом Ньютона:

;

Оказалось,что степени многочленов и одинаковы, поэтому предел равен отношению старших коэффициентов:

.▲

Неопределённость сводится к неопределённости или .

Пример 8.Вычислить .

Решение.

. ▲

Пример 9.Вычислить .

Решение.

. ▲

Пример 10.Вычислить .

Решение.

. ▲

Поиск по сайту: