При вычислении пределов используется непрерывность элементарных функций в области их определения и теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного.
Пример 1. Вычислить
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Так как функции и в числителе, и в знаменателе непрерывны, то , .
В силу теоремы о пределе частного получаем
.
б) Здесь ,
поэтому .
в) Так как - числитель стремится к конечному и отличному от нуля пределу, а - знаменатель в точке является бесконечно малой функцией, то частное в этой точке - бесконечно большая функция: = .▲
Особое внимание следует уделить случаю, когда и числитель, и знаменатель стремятся к нулю при , т.е. частное представляет в этой точке неопределённость вида .
Теорема.Предельное значение функции в точке существует и равно единице (первый замечательный предел):
. (1)
Обращаем внимание на тот факт, что отношение стремится к единице только при стремлении аргумента к нулю. Это наглядно представлено на графике функции
Еще один рисунок наглядно показывает, как мало различаются функции и в окрестности точки ( и только в окрестности этой точки).
Пределу (1) можно придать другую форму, если заменить . Тогда
, при , поэтому
или .
Теорема о пределе произведения позволяет получить ещё одну форму первого замечательного предела:
. Значит, и .
И снова обращаем внимание на тот факт, что отношение стремится к единице только при стремлении аргумента к нулю. Это наглядно представлено на графике функции .
Еще один рисунок наглядно показывает, как мало различаются функции и в окрестности точки ( и только в окрестности этой точки).
Рекомендуем нарисовать графики пар функций и ; и . Обратите внимание на близость этих графиков для значений аргумента в окрестности точки =0.
Все приведенные соотношения справедливы и при замене на , если при :
Если при вычислении предела отношения тригонометрических функций возникает неопределённость вида , то её можно раскрыть с помощью первого замечательного предела.
Пример 2.Вычислить .
Решение.
.
Можно и не записывать замены аргумента, а просто уравнивать коэффициенты:
.▲
Пример 3.Вычислить .
Решение. .▲
Пример 4.Вычислить .
Решение. К первому замечательному пределу приводит формула :
.▲
Пример 5.Найти предел дроби а) при , б) при .
Решение.
а) .
б) . Здесь аргумент стремится не к 0, поэтому нельзя непосредственно воспользоваться формулой (1). Перенесём начало координат в точку , т.е. сделаем замену . Тогда при новая переменная и можем записать
▲
Пример 6.Вычислить .
Решение. Здесь тоже необходима замена: , при новая переменная . Тогда
.▲
Пример 7.Вычислить .
Решение. Здесь можно было ввести новую переменную , которая стремится к 0 при . Но мы предлагаем преобразовать разность синусов в произведение:
▲
Пример 8.Вычислить .
Решение. После избавления от иррациональности получаем первый замечательный предел: