 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Ограниченные и неограниченные последовательности
Основной операцией математического анализа является операция предельного перехода.Сначала рассмотрим простейшую форму предельного перехода на примере числовой последовательности. Определение.Если каждому натуральному числу 1, 2,…, n,…поставлено в соответствие по определенному закону вещественное число будем называть числовой последовательностью. Числа Зная Таким образом, числовая последовательность - это функция, определенная на множестве натуральных чисел:
Пример 1.Выписать первые пять членов последовательности а) Решение. а)
б) Если если если
в) Если С другой стороны, так как каждый элемент последовательности строится по определенному закону, то, зная несколько первых членов последовательности, можно предположить, как выглядит её Пример 2.По нескольким первым членам последовательности записать её а) Решение. а) Знаменатели 3, 6, 9…образуют арифметическую прогрессию, первый член которой
б) Знаменатели 2,4,8,… изменяются по закону в) Запишем последовательность в виде Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями. Пусть даны две последовательности Введем понятие ограниченной числовой последовательности. Само слово «ограниченная» предполагает существование границ, в пределах которых находятся все элементы последовательности. Определение.Последовательность Числа Данное определение можно записать в другой форме. Если обозначить через
Пример 3. Последовательность Если же последовательность не ограничена, то не существует границ, в пределах которых находились бы все элементы последовательности. Определение.Последовательность
Сравнивая определения ограниченной и неограниченной последовательности, замечаем, что кванторы Пример 4. Доказать, что последовательность Доказательство. Действительно каким бы большим ни было число Пример 5. Доказать, что последовательность Доказательство . Поскольку неравенство
Поиск по сайту: |
, то множество занумерованных действительных чисел 
, 
,…, 
(иногда просто 
обозначает последовательность 
, а символ 
- последовательность 
Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным. Например, множество значений последовательности 
состоит из двух чисел 1 и –1, множество значений последовательности 
-й член последовательности, можно записать любой член последовательности.
.
, б) 
, в) 
;
;
;
;
, то имеем одно слагаемое и 
;
, то имеем два слагаемых и 
;
, то 
;
; 
.
; если 
; 
; 
. ▲
б) 
; в) 
,
, разность 
. Значит,
, тогда 
.
, также происходит чередование знаков, начиная с «+». Значит, 
.
Первое слагаемое в числителе всегда равно 1; а знаки второго слагаемого чередуются, начиная с отрицательного, т.е. изменяются по закону 
. Значит, числитель можно представить в виде 
. Тогда 
. ▲
и 
. Суммой этих последовательностей назовем последовательность 
, разностью – 
, произведением – 
, частным – 
. Для существования последней последовательности необходимо потребовать, чтобы все элементы 
.
называется ограниченной, если существуют такие числа 
и 
, что любой элемент 
данной последовательности удовлетворяет неравенствам 
.
, тогда все элементы последовательности 
, иначе, 
. Используя кванторы 
(существует, найдется) и 
(любой, для любого), это определение коротко можно записать так:
( 
).
ограничена, так как 
.
найдется элемент 
или короче
.
и 
поменялись местами и знак неравенства изменился на противоположный.
не ограничена.
, обязательно найдётся (чётный) номер 
. ▲
ограничена.
очевидно для 
, то 
. Тогда 
для всех номеров 
, начиная с первого. Значит, 
. А это в силу определения и означает ограниченность данной последовательности. ▲