Задачи для самостоятельного решения. 22. Показать, что график функции везде выпуклый.

22. Показать, что график функции везде выпуклый.

23. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то эта функция не может иметь более одного экстремума.

Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости для следующих функций.

24. . 25. 26. .

27. . 28. . 29. .

30. .

Асимптоты графика функции

Пусть существует такая прямая, что расстояние до нее от точки графика функции стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Тогда прямая называется асимптотой графика функций. Прямая называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов: или равен бесконечности.

Если существуют конечные пределы и , то прямая есть наклонная асимптота графика функции . Пределы могут не существовать или быть бесконечными при и существовать при (левая наклонная асимптота).

Если функция может быть представлена в виде , где - бесконечно малая при , то есть наклонная асимптота.

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Ñ Найдем область определения функции: ,

, ( применить правило Лопиталя)= . Следовательно - вертикальная асимптота, а не является асимптотой. Проверим наличие наклонной асимптоты. , ( , применим правило Лопиталя)= . Следовательно - наклонная асимптота. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти асимптоты графиков следующих функций:

31. . 32. . 33. . 34. .

35. . 36. . 37. . 38. .

Общая схема исследования функций.

Для построения графика функции нужно провести исследование по следующей схеме:

1) Область определения функции .

2) Четность, нечетность, периодичность. Точки пересечения графика с осями координат.

3) Нахождение точек из области определения, в которых либо , либо не существует.

4) Нахождение точек из области определения, в которых либо , либо не существует.

5) Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости графика по сводной таблице.

6) Асимптоты.

7) Построение графика.

Пример. Провести полное исследование функции и построить график.

Ñ В соответствие со схемой имеем:

1) .

2) Функция общего вида. График проходит через точку (0,0).

3) . Точки возможного экстремума имеют абсциссы .

4) . Точка возможного перегиба имеет абсциссу x =0.

5) Результаты сводим в таблицу­

x		–3	(–3, –1)	(–1, 0)
	+		–	+		+
	–		–	-		+
y
		лок. max			перегиб

6) . Следовательно - вертикальная асимптота. Выделим целую часть . и так как - бесконечно малая при , то - наклонная асимптота.

7) Рисунок .#

Поиск по сайту: