Задачи для самостоятельного решения. Доказать, что указанные функции являются монотонно возрастающими (убывающими) в

Доказать, что указанные функции являются монотонно возрастающими (убывающими) в указанных промежутках.

34. . 35. .

36. . 37. .

38. .

Четные и нечетные функции.Функция , определенная в симметричном интервале , называется четной, если , и нечетной, если .

Пример.а) , , - функция - нечетная. б) , ,- функция g(x) – четная.

Пример. Доказать, что всякую функцию, определенную в , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Ñ

= , где , ;

, значит, - четная,

, значит, - нечетная. #

Задачи для самостоятельного решения

39. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны, какие не являются ни четными, ни нечетными?

a) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) ,

з) , и) .

Представить в виде суммы четной и нечетной функций:

40. , 41. .

42. Доказать, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных – четная функция, произведение четной и нечетной – нечетная функция.

Периодические функции.Функция , определенная в D, называется периодической, если существует число T>0 такое, что выполняется

(2.2)

Наименьшее из T , для которых выполняется (2.2) называется периодом ; тогда kT - период функции в широком смысле слова.

Пример. Найти, если существует, период функции ( ).

Ñ Функция определена . По определению , - уравнение для определения T; преобразуем его: . Так как x- любое из R, то последнее уравнение выполняется, если , отсюда , . Наименьшее (отличное от нуля) T получим при . #

Функции имеют период , функции - период .

Теорема 1.1. Если функция , определенная в имеет период , а , определенная в - период , то: 1) определенная в функция будет периодической с периодом T, если отношение - рациональное число; 2) период T – наименьшее общее кратное чисел .

Доказательство. 1) По определению (2.2):

, , (2.3)

где - целые.

Пусть функция - периодическая с периодом T, тогда по определению (2.2) , отсюда с учетом (2.3) следует или . При целых отношение - рациональное число.

2) Доказать самостоятельно.

Пример. Будет ли периодической функция ?

Ñ Функции и определены и имеют периоды и соответственно. Тогда y определена . Так как - иррациональное (трансцендентное) число, то функция - непериодическая. #

Задачи для самостоятельного решения

Выяснить, какие из нижеследующих функций будут периодическими, и определить период.

43. , 44. , 45. , 46. ,

47. , 48. , 49. .

50. Построить график периодической функции с периодом , которая на промежутке задана формулой: а) , б) .

51. Доказать методом полной индукции: если T- период функции , то , где .

Обратная функция

Пусть двум любым различным элементам множества D соответствуют по закону f два различных элемента множества E. Тогда говорят, что между D и E установлено взаимно однозначное соответствие. Отображение называется обратной функцией по отношению к и обозначается или . Если учесть, что традиционно функцию обозначают y а аргумент x, то обратной функцией к будет .

Пусть даны непустые множества и и функции и , при этом функция f двум разным значениям и из X ставит в соответствие разные значения и из Y.

Функцию g будем называть обратной к функции f , если для всякого

выполняется

и для всякого выполняется

Функция g, обратная к f, обозначается . Если учесть, что традиционно функцию обозначают y а аргумент x, то обратной функцией к будет .

Теорема 1.2. Если функция f строго монотонна в области X и имеет область значений Y, то для нее существует однозначная обратная функция , определенная на Y и с областью значений X.

Если непрерывная функция не является строго монотонной во всей своей области определения, то, если возможно, область определения разбивают на интервалы, в которых функция строго монотонна, и в каждом таком интервале справедлива теорема 1.2.

Для функций, заданных аналитически , обратную функцию можно получить, выразив x через y, затем, следуя традиции, условимся менять x и y местами.

Пример. Найти обратную функцию для функции .

Ñ Если областью определения функции считать всю числовую ось, то на ней функция не является строго монотонной: на функция убывает, на - возрастает, и однозначно определенной обратной функции нет. Но на интервалах монотонного изменения функции обратная функция существует:

а) т.е. обратная функция ;

б) , т.е. обратная функция .#

Взаимно обратными функциями являются, например,

а) ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) .

Поиск по сайту: