Возрастание и убывание функций

Функция f (x) называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a,b), если таких, что выполняется .

Функция f (x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a,b), если таких, что , .

Теорема 1. Пусть f (x) дифференцируема на (a,b). Тогда если , то f (x) возрастающая (убывающая) на (a,b).

Замечание 1. Условие является необходимым и достаточным для неубывания (невозрастания) f (x) на (a,b).

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности.

Точки экстремума функций.

Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции

Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если - проколотая окрестность т. такая что . Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума). Пусть т. - точка экстремума функции . Тогда либо либо не существует.

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума). Пусть непрерывна в т. и дифференцируема в . Тогда, если выполняются следующие условия:

либо а) , , либо б) , , то имеет экстремум в т. , а именно: локальный минимум в случае а) и локальный максимум в случае б).

Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .

Ñ . Вычислим производную. = = . Экстремум может достигаться при , и , так как эти значения принадлежат области определения и f (-1) не существует, f (1/2)=0, f (5)=0. Исследуем знаки первой производной на интервалах ,
(-1, 1/2), (1/2, 5), .

-1 1/2 5

Например, . По методу интервалов получаем остальные знаки. Тогда возрастает на (-1, 1/2) и ; убывает на и (1/2, 5). Точки и - локальные минимумы, а - точка локального максимума функции.#

Пример. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную поверхность S.

ÑФормула площади полной поверхности имеет вид . Так как , то выразив можно получить . Исследуем S (R) на экстремум. . Экстремум возможен если т.е. . Проверим смену знаков

знак

0

При S(R) имеет локальный минимум и подставляя получаем . #

Пусть непрерывна на и точки такие что , либо равна 0, либо не . Тогда наибольшее значение на есть , а наименьшее - .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения на [0, 1]. Ñ Вычислим производную:

.

Заметим что, на [0, 1]. Экстремум возможен при . Тогда f_{наибольшее}= , f_{наименьшее}= . Здесь наибольшее значение достигается в двух точках, а наименьшее – в одной. #

Поиск по сайту: