Лекция 3.6 «Определенный интеграл»

Вопросы:

1.Несобственные интегралы

Определение. Пусть функция f (x) определена на множестве [a,∞) и интегрируема на любом отрезке [a, b]. Если существует предел (конечный), то он называется несобственным интегралом функции
f (x) на множестве [a,∞). Обозначается . Если предел конечный, то называется сходящимся, если бесконечный или не существует вообще, то называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на множестве
(-∞, b]. Чтобы определить несобственный интеграл на множестве
(-∞, ∞), возьмем любую точку сє(-∞, ∞). Выберем а и b так, что a≤c≤b и = + .

Определение. Если пределы и одновременно существуют, то несобственным интегралом называется их сумма: = + .

Введенное определение не зависит от числа с. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. - это площадь бесконечной области, ограниченной сверху функцией f (x)≥0, снизу – осью Ох, слева – прямой х = а.

Пусть функция f (x) – непрерывна, но неограничена на [a, b).

Определение. Несобственным интегралом второго рода от функции у =f (x) на множестве [a, b) называется предел , где δ>0. Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции у =f (x) на множестве (а, b].

Пример. Вычислить интеграл . Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода на множестве (0, 1]. При х→0 подынтегральная функция неограниченно возрастает. = = = =2.

Если функция у =f (x) неограниченна при х=с, сε(а, b), то также называется несобственным. = + . Если сходятся интегралы и , то сходится и интеграл . Он будет расходящимся, если хотя бы один из слагаемых интегралов расходится.

Пример. Вычислить . Данный интеграл представим как сумму двух интегралов + = + = + = + =-∞+∞. А это неопределенность.

Практические занятия

Семинарское занятие 3.1.

Непосредственное интегрирование

Рассмотреть решение типовых примеров:

а) = + + + =
= + 2 + + х + с;

б) = ;

в) = ;

г) = ; д) = ;

е) = = = ;

ж) = ;

з) = = = ;

и) ;

к) = = .

Задания для аудиторной работы

1. В примерах, где стоит знак , вставить пропущенную информацию:

1. = + -

- + + = + 2 - +
+ - + с = (упростить)

2. = + = 3 +
+2 +

3. = + + = +
+ + + с

4. = = + -
- х + с

5. = + 3 +

6. = + + + + =

7. = - = - х + с

8. = 2 - = - + с

9. = = + + с

2. Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Семинарское занятие 3.2.

Замена переменной интегрирования. Интегрирование по частям

Поиск по сайту: