Определение. Пусть функция f (x) определена на множестве [a,∞) и интегрируема на любом отрезке [a, b]. Если существует предел (конечный), то он называется несобственным интегралом функции f (x) на множестве [a,∞). Обозначается . Если предел конечный, то называется сходящимся, если бесконечный или не существует вообще, то называется расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл на множестве (-∞, b]. Чтобы определить несобственный интеграл на множестве (-∞, ∞), возьмем любую точку сє(-∞, ∞). Выберем а и b так, что a≤c≤b и = + .
Определение. Если пределы и одновременно существуют, то несобственным интегралом называется их сумма: = + .
Введенное определение не зависит от числа с. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. - это площадь бесконечной области, ограниченной сверху функцией f (x)≥0, снизу – осью Ох, слева – прямой х = а.
Пусть функция f (x) – непрерывна, но неограничена на [a, b).
Определение.Несобственным интегралом второго рода от функции у =f (x) на множестве [a, b) называется предел , где δ>0. Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции у =f (x) на множестве (а, b].
Пример. Вычислить интеграл . Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода на множестве (0, 1]. При х→0 подынтегральная функция неограниченно возрастает. = = = =2.
Если функция у =f (x) неограниченна при х=с, сε(а, b), то также называется несобственным. = + . Если сходятся интегралы и , то сходится и интеграл . Он будет расходящимся, если хотя бы один из слагаемых интегралов расходится.
Пример. Вычислить . Данный интеграл представим как сумму двух интегралов + = + = + = + =-∞+∞. А это неопределенность.
Практические занятия
Семинарское занятие 3.1.
Непосредственное интегрирование
Рассмотреть решение типовых примеров:
а) = + + + = = + 2 + + х + с;
б) = ;
в) = ;
г) = ; д) = ;
е) = = = ;
ж) = ;
з) = = = ;
и) ;
к) = = .
Задания для аудиторной работы
1. В примерах, где стоит знак , вставить пропущенную информацию:
1. = + -
- + + = + 2 - + + - + с = (упростить)
2. = + = 3 + +2 +
3. = + + = + + + + с
4. = = + - - х + с
5. = + 3 +
6. = + + + + =
7. = - = - х + с
8. = 2 - = - + с
9. = = + + с
2. Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
1.2.3.
4.5.6.
7.8.9.
Семинарское занятие 3.2.
Замена переменной интегрирования. Интегрирование по частям