Лекция 3.4 «Определенный интеграл»

Вопросы:

1.Определение, геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

Функция f (х) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок на n произвольных частей точкам . Выберем в каждом множестве [x_i-1, x_i] произвольную точку ξ_i. Составим сумму произведений , которою будем называть интегральной суммой (сумма Римана).

Геометрический смысл интегральной суммы: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами , i=1,2,…n.

S_n зависит от способа разбиения отрезка [a, b] и от выбора точек ξ_i.

Будем менять разбиение {x₀, x₁, …, x_n}. Следовательно, получим последовательность разбиений, которой будет соответствовать последовательность и последовательность интегральных сумм S_n. Пусть при некоторой выбранной последовательности разбиений, когда , эта сумма S_n стремится к пределу I.

Определение. Пусть предел I интегральной суммы S_n при существует, конечен и не зависит от способа разбиения {x₀, x₁, …, x_n} и выбора точек ξ_i i=1,2,…n. Тогда этот предел I называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [a, b]. Обозначается , а сама функция называется интегралом на отрезке [a, b], т.е. = =I. При этом число а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение.

Не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла = = .

Во введенном определении определенного интеграла предполагается, что a<b. Тогда = - . Если a = b, =0.

Свойства:

1). .

2). = .

3). Если функции f (х) и g(x) – интегрируемы на отрезке [a, b], то функция f (х) ± g (x) также интегрируема на отрезке [a, b], при этом = ± .

4). Если функция f (х) – интегрируема на отрезке [a, b], k – число, то функция kf (х) – также интегрируема на отрезке [a, b], при этом = .

5). Если функция f (х) – интегрируема на отрезках [a, с] и [с, b], (a<c<b), то функция f (х) – интегрируема на отрезке [a, b], и наоборот. При этом = + .

6). Если функция f (х) ≥0 на отрезке [a, b], a<b, то ≥0.

7). Если функции f (х) и g(x) удовлетворяют неравенству f (х) ≤ g (x) на отрезке [a, b], a<b, то ≤ .

8). Если функция f (х) – интегрируема на отрезке [a, b], a<b, то │ │≤ .

9). Если М – max, m – min функции f (х) на отрезке [a, b], a<b, то

m (b-a) ≤ ≤ M (b-a).

10. Теорема о среднем значении для определенного интеграла. Если функция f (х) – непрерывна на отрезке [a, b], a<b, то существует такая точка с , что интеграл =f (c)∙(b-a).

Пусть функция f (х) ≥0 на отрезке [a, b], где a<b. Тогда - число, равное площади S криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b, осью Ох и графиком функции у=f (х).

Теорема. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a, b] и F(х) – первообразная для f (х). Тогда =F(x) = F(b)-F(a). (Формула Ньютона-Лейбница).

Пример. = = ¼ – 0 = ¼.

Интегрирование по частям. .

Пример. = = = - - = .

Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция определена на отрезке и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем , . Тогда = .

Пример. = =

= = 2 =π.

Т1. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Т2. Если определенная и ограниченная на множестве [a, b] функция f (х) имеет конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Т3. Монотонная на отрезке [a, b] функция f (х) интегрируема на этом отрезке.

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых и независимых переменных. Несмотря на то, что эти задачи содержательно не связаны между собой, с математической точки зрения они сходны. В микро экономике часто приходится находить саму функцию по известной ее предельной величине (производной f ^/(x)), т.е. решать задачу обратную нахождению производной данной функции – задачу интегрирования функции.

Поиск по сайту: