Свойства степенных рядов

1⁰. На промежутке сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. Интервал сходимости полученного ряда тот же, что и для исходного ряда.

2⁰. На промежутке сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать. Интервал сходимости полученного ряда тот же, что и для исходного ряда.

3⁰. Если на интервале функцию можно разложить в степенной ряд, то это разложение единственно.

П р и м е р. Найдите интервал сходимости ряда и его сумму

♦ Если то ряд расходится, так как общий член стремится к бесконечности, а не к нулю. Поэтому область сходимости ряда Так как

то

П р и м е р. Найдите интервал сходимости ряда и его сумму

♦ Интервал сходимости ряда Так как то

П р и м е р. Найдите интервал сходимости ряда и его сумму

♦ Если то ряд расходится, так как общий член стремится к бесконечности. Поэтому область сходимости ряда Так как

то

П р и м е р. Найдите сумму ряда

♦ Так как , то

Если то

Ряд Тейлора

Функция разлагается в степенной ряд на интервале , если – интервал сходимости ряда .

Рядом Тейлора для функции в некоторой окрестности точки называется степенной ряд

Разложение функций в ряд Маклорена

При ряд Тейлора называют рядом Маклорена.

П р и м е р. Функцию разложите в ряд по степеням .

♦ Вместо формулы Тейлора применим свойства геометрической прогрессии при .

Разложение в ряд элементарных функций

.

Для функции имеем Подставив эти значения в формулу ряда Маклорена, получим

Для функции имеем Для производных чётного порядка , а нечётного Подставив эти значения в формулу ряда Маклорена, получим

Аналогично можно получить разложение

Для функции будем исходить из того, что ряд

сходится при Проинтегрируем обе части равенства

Для функции также применим интегрирование

П р и м е р. Разложите в ряд Маклорена функцию

♦ Заменяя на в равенстве , получим

; .

П р и м е р. Разложите в ряд по степеням функцию

♦ В равенстве , заменяя на ,получим . Отсюда

.

Кстати, при получим .

П р и м е р. Разложите в ряд по степеням функцию

♦ +

П р и м е р. Найдите сумму ряда

♦ Следует из разложения в ряд

П р и м е р. С точностью до 0,0001 вычислите

♦ Так как , то и

Упражнения

Разложите в ряд по степеням функции

Ряды Фурье

В приложениях науки и техники часто приходится иметь дело с явлениями, повторяющимися или воспроизводящимися через определённый промежуток времени. Такие явления описываются периодическими функциями. Функция называется периодической на промежутке Х, если существует число , для которого из того, что и принадлежат Х следует, что Период функции  наименьшее положительное Функции периодические с периодом и с периодом Функция удовлетворяет условию Дирихле в интервале , если в этом интервале она может иметь конечное число точек разрыва 1-го рода, конечное число точек строгого экстремума и существует положительное число , для которого при

ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ.Если функция удовлетворяет условию Дирихле в интервале , то во всякой точке этого интервала, в которой функция непрерывна, её можно разложить в тригонометрический ряд

где коэффициенты вычисляются по формулам

В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов слева и справа функции . На концах отрезка сумма равна .▄

Пусть функция определена на отрезке Её периодическим продолжением называется функция , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2 если на отрезке Ряд вида называется рядом Фурье для функции . Если ряд Фурье сходится к функции на отрезке , то как предел частичных сумм с периодом он является периодической функцией с этим же периодом ,

т. е. сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Если функция чётная, т. е. , то

Если функция нечётная, т. е. , то

Если функция удовлетворяет условию Дирихле в интервале , то во всякой точке этого интервала, в которой функция непрерывна, её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье

где числа вычисляются по формулам

В каждой точке разрыва функции сумма ряда Фурье равна , а на концах отрезка .

П р и м е р. Разложите в ряд Фурье Функцию

♦ Так как функция нечетная, то а

Ряд Фурье на интервале имеет вид

При сумма ряда равна

П р и м е р. Разложите в ряд Фурье функцию

♦ При сумма ряда равна Ряд Фурье на интервале имеет вид

так как функция четная, т. е. и

П р и м е р. Разложите в ряд Фурье функцию

♦ На интервале функция удовлетворяет условиям Дирихле и поэтому существует её разложение в ряд Фурье

;

При сумма ряда равна

Поиск по сайту: