Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Абсолютная и условная сходимость ряда



 

Ряд называется знакопеременным, если в нём встречаются как положительные, так и отрицательные слагаемые. Со знакопеременным рядом

(1)

рассмотрим ряд из абсолютных величин его слагаемых

(2)

ТЕОРЕМА (ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЗНАКОПЕРЕМЕННОГО РЯДА).Если ряд, составленный из абсолютных величин слагаемых ряда сходится, то и сам ряд сходится.

Доказательство. Пусть и - соответственно сумма положительных и сумма абсолютных величин отрицательных членов частичной суммы ряда (1). По условию существует предел последовательности . Обе последовательности и ограничены этим пределом сверху. Так как они не убывают и ограничены сверху, то имеют пределы и Тогда существует и Ряд (1) сходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд из абсолютных величин его слагаемых сходится. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных величин его слагаемых расходится.

П р и м е р. Ряд по признаку Лейбница сходится, но ряд из его абсолютных величин – гармонический ряд расходится. Сходимость условная.

П р и м е р. Ряд сходится абсолютно, так по признаку Коши ряд из абсолютных величин сходится:

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ДИРИХЛЕ-АБЕЛЯ). Если последовательность частичных сумм ряда ограничена, а бесконечно малая последовательность невозрастающая, то ряд сходится.

Упражнения

1. Напишите формулу общего члена ряда

а) б) в) г) д) е) ё)

2. Напишите 5 первых слагаемых ряда по известному общему члену

3. Исследуйте сходимость рядов с помощью необходимого признака или признака сравнения

а) б)

в) г)

д) е)

4. Исследуйте сходимость рядов с положительными слагаемыми

5. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость

Функциональные ряды

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех значений для которых ряд сходится. Функция где , а принадлежит области сходимости,называется суммой ряда, а остатком ряда. Функциональные ряды широко применяются в приложениях для анализа и приближенных вычислений.

П р и м е р. Найдите решение дифференциального уравнения , если

Полагая , получим тождество

=

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , имеем систему

, и т. д.

Решив систему, получим с учётом начальных условий

По признаку Даламбера ряд сходится при

 

П р и м е р. Определите область сходимости ряда

♦ Для общего члена ряда имеем

Если то по признаку Даламбера ряд сходится и притом абсолютно. Если то ряд расходится. Т. е. ряд сходится при и расходится при или при При получаем гармонический ряд , который расходится, а при  ряд который сходится по признаку Лейбница (неабсолютно). Ответ.

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Числа называются коэффициентами степенного ряда.

ТЕОРЕМА АБЕЛЯ.Если при степенной ряд

сходится, то он абсолютно сходится при всех таких, что Если ряд расходится при то он расходится при всех таких, что .

Доказательство. Пусть ряд сходится при В силу необходимого условия сходимости при , а поэтому существует число для которого Все члены ряда меньше соответствующих членов суммы геометрической прогрессии со знаменателем . Такой ряд сходится, а по признаку сравнения сходится и ряд , т. е. ряд сходится абсолютно.

Пусть теперь ряд расходится при и предположим, что при некотором ряд сходится. Тогда по доказанному в первой части теоремы ряд должен сходиться в точке а это противоречит условию теоремы.

 

Из теоремы Абеля следует, что существует такой интервал сходимости с центром в точке внутри которого ряд сходится абсолютно, а вне которого расходится.Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится, а при расходится. В частных случаях радиус сходимости может быть равен нулю или бесконечности. В концевых точках интервала сходимости возможна как сходимость ряда, так и расходимость степенного ряда. Применив признаки Даламбера и Коши к ряду , получим формулы для радиуса сходимости ряда

и .

П р и м е р. Найдите область сходимости ряда

♦ Так как радиус сходимости ряда , то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

П р и м е р. Найдите область сходимости ряда

. Ряд сходится лишь при

П р и м е р. Найдите область сходимости ряда

При ряд расходится, так не выполняется необходимое условие сходимости. Ответ На интервале ряд сходится абсолютно.

П р и м е р. Найдите область сходимости ряда

♦ Радиус сходимости ряда . На интервале ряд сходится абсолютно для любого При для ряд сходится условно, а для сходится абсолютно. При для ряд расходится, а для сходится. Ответ. При как знакопеременный ряд сходится условно на отрезке , а на интервале сходится абсолютно. При ряд сходится абсолютно на отрезке

Упражнения

Найдите область сходимости ряда

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.