Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Числовые ряды с положительными слагаемыми

 

ТЕОРЕМА (Необходимое и достаточное условие сходимости ряда). Для сходимости ряда с положительными слагаемыми необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Доказательство. Пусть ряд сходится. По свойствам пределов сходящаяся последовательность его частичных сумм ограничена.

Дано: последовательность частичных сумм ряда ограничена. Члены ряда неотрицательны, поэтому последовательность частичных сумм неубывающая, а ограниченная неубывающая последовательность имеет конечный предел.

 

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ). Если для рядов

(1)

(2)

с положительными слагаемыми выполняются неравенства , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость (2).

Доказательство. Пусть и - частичные суммы рядов (1) и (2). Если ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена. Так как , то ограничена и последовательность частичных сумм ряда (1). По предыдущей теореме ряд (1) сходится. Первая часть теоремы доказана.

Предположим, что ряд (1) расходится, а ряд (2) сходится. Тогда по первой части и ряд (1) сходится. А это противоречит условию.

Для сравнения часто выбирают геометрический ряд который сходится при и расходится при , и гармонический ряд , который расходится, а также обобщённый гармонический ряд Дирихле , который сходится при и расходится при (будет доказано ниже).

П р и м е р. Ряд сходится, так как

А геометрическая прогрессия со знаменателем сходится.

П р и м е р. Ряд расходится, так как для соответствующего слагаемого гармонического ряда, который расходится.

П р и м е р. Ряд расходится, так как и вообще, т. е. члены ряда больше соответствующих членов гармонического ряда.

ТЕОРЕМА(ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ). Если для рядов

(1)

(2)

с положительными слагаемыми существует конечный предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Для любого числа и для всех по определению предела

.

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд А так как то по первому признаку сравнения, сходится и ряд (1).

Пусть ряд (1) расходится. Тогда в силу неравенства расходится и ряд По свойствам сходящихся рядов ряд (2) не может сходиться.

П р и м е р. Ряд расходится, так как а гармонический ряд с общим членом расходится.

П р и м е р. Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится, а .

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда

♦ При больших выполняется .Сравним ряд с гармоническим По предельному признаку сравнения ряд расходится.

 

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА). Пусть для ряда с положительными слагаемыми существует предел Если то ряд сходится. Если то ряд расходится. При требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Пусть подберем таким, чтобы . По определению предела существует такое, что для имеем или По первому признаку сравнения ряд сходится, так как

;

.

Пусть подберем таким, чтобы . Существует такое, что или для . Т. е.

; .

 

Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда

♦ Здесь Ряд сходится, так как

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда .

♦ Ряд расходится, так как

П р и м е р. По признаку Даламбера ряд сходится, если и расходится, если так как

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК КОШИ). Пусть для ряда с положительными слагаемыми существует предел Если то ряд сходится. Если то ряд расходится. При требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Пусть подберем таким, чтобы . По определению предела существует , для которого при выполняется неравенство или По признаку сравнения ряд сходится.

Пусть подберем таким, чтобы . Существует , для которого при выполняется неравенство или Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда где и

По признаку Коши при ряд сходится, а при расходится.

ТЕОРЕМА (ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ) Пусть функция непрерывная, положительная и убывающая при Тогда ряд

и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из геометрических соображений для частичных сумм ряда

Если интеграл сходится, то в правой части неравенства существует конечный предел, т. е. последовательность ограничена. Тогда и возрастающая последовательность ограничена сверху. Её предел существует и поэтому ряд сходится. Если интеграл расходится, то из неравенства следует, что и поэтому ряд расходится.

П р и м е р. Ряд Дирихле сходится, если и расходится, если

♦ Интеграл

сходится, если и расходится, если В частности, отсюда следует, что гармонический ряд расходится. Сходимость многих рядов исследуют при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле.

П р и м е р. Ряд сходится, так как ряд Дирихле сходится и существует .

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.