Свойства сходящихся рядов

Дальневосточный федеральный университет

Г. К. ПАК

РЯДЫ

Владивосток 2011

Глава 10. Ряды

Числовые ряды

Числовым рядом называется формальная сумма бесконечного количества чисел

Частичными суммами ряда называются суммы первых слагаемых ряда

где – первая частичная сумма, – вторая частичная сумма, …, ая частичная сумма. Ряд называется сходящимся, если существует сумма ряда – конечный предел последовательности . Ряд называется расходящимся, если этот предел не существует или бесконечен.

П р и м е р. Ряд расходится, так как последовательность частичных сумм стремится к бесконечности.

П р и м е р. Ряд расходится, так как не имеет предела последовательность частичных сумм .

П р и м е р. Ряд составленный из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем , сходится, если , и расходится, если Действительно, и если , то при , сумма ряда равна . При предел последовательности частичных сумм бесконечен. Если то . Если то при чётном , а при нечётном , т. е. предела частичных сумм нет. Каждый раз, когда ряд расходится.

П р и м е р. Найдите сумму ряда

♦ =

Свойства сходящихся рядов

1^○. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость или расходимость ряда.

2^○. Если ряд сходится и его сумма равна , то сходится и ряд, полученный умножением всех его слагаемых на постоянное число , и сумма полученного ряда равна

3^○. Если два ряда сходятся и их суммы равны соответственно и , то и ряд, полученный сложением соответствующих слагаемых этих рядов, тоже сходится и его сумма равна

4^○. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при

5^○. Критерий Коши сходимости ряда. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа нашлось для которого при и любом положительном выполняется неравенство

Доказательство свойства 1^○. Отбрасывание конечного числа членов ряда изменяет, начиная с некоторого номера, частичные суммы нового ряда на сумму отбрасываемых слагаемых. Для сходящегося исходного ряда по свойствам пределов сумма нового ряда существует; она изменится на эту же сумму отбрасываемых слагаемых. Получился сходящийся ряд. Если после отбрасывания нескольких слагаемых расходящегося ряда он стал сходящимся, то по свойствам пределов сходится и исходный ряд. Противоречие.

Доказательство свойства 4^○. Если сумма ряда, то и , и

Свойства 2^○, 3^○ и 5^○ докажите самостоятельно. Они следуют из свойств пределов, как и свойства 1^о и 4^о.

П р и м е р. Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак

П р и м е р. Ряд расходится, так как его частичная сумма

стремится к бесконечности при Общий член стремится к нулю, а ряд расходится! Признак 4^о сходимости ряда не является достаточным.

Поиск по сайту: