Критерий хи-квадрат К. Пирсона

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F_n(x), которая приближенно подчиняется закону распределения χ². Гипотеза Н₀ о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов ψ. Наблюдаемая частота попаданий в i-й разряд n_i. В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i-й разряд составляет F_i. Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n_i – F_i). Для нахождения общей степени расхождения между F(x) и F_n(x) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

(7)

Величина χ² при неограниченном увеличении n имеет распределение хи-квадрат (асимптотически распределена как хи-квадрат). Это распределение зависит от числа степеней свободы k, т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (7). Число степеней свободы равно числу ψ минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся ψ – 1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке.

Если по выборке определяются φ параметров распределения, то число степеней свободы составит k = ψ – φ –1.

Область принятия гипотезы Н₀ определяется условием , где χ²(k; α ) – критическая точка распределения хи-квадрат с уровнем значимости α. Вероятность ошибки первого рода равна α, вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n > 200, допускается применение при n > 40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

Пример 3.1. Проверить с помощью критерия хи-квадрат гипотезу о нормальности распределения случайной величины, представленной статистическим рядом в табл. 2.4 при уровне значимости α = 0,05.

Решение. В примере 2.3 были вычислены значения оценок моментов: μ₁ = 27,51, μ₂ = 0,91, σ = 0,96. На основе табл. 2.4 построим табл. 2, иллюстрирующую расчеты.

Таблица 2

В этой таблице:

n_i – частота попаданий элементов выборки в i-й интервал;

x_i – верхняя граница i-го интервала;

F(x_i) – значение функции нормального распределения;

Δ F_i – теоретическое значение вероятности попадания случайной величины в i-й интервал

F_i = Δ F_i*n – теоретическая частота попадания случайной величины в i-й интервал;

(n _i – F_i)²/F_i – взвешенный квадрат отклонения.

Для нормального закона возможные значения случайной величины лежат в диапазоне от – ∞ до ∞, поэтому при расчетах оценок вероятностей крайний левый и крайний правый интервалы расширяются до – ∞ и ∞ соответственно. Вычислить значения функции нормального распределения можно, воспользовавшись стандартными функциями табличного процессора или полиномом наилучшего приближения.

Сумма взвешенных квадратов отклонения χ² = 1,32. Число степеней свободы k = 6 – 1 – 2 = 3 (уклонения связаны линейным соотношением , кроме того, на уклонения наложены еще две связи, так как по выборке были определены два параметра распределения). Критическое значение χ²(3; 0,05) = 7,815 определяется по табл. П.3 приложения. Поскольку соблюдается условие χ² < χ² (3; 0,05), то полученный результат нельзя считать значимым и гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит ЭД.

Поиск по сайту: