Проверка параметрических гипотез

1. Проверка гипотез о параметрах распределения.Пусть произведена выборка объема n из нормальной генеральной совокупности, получены выборочные характеристики случайного признака.

Рассмотрим нулевую гипотезу Н_о о том, что генеральная средняя а равна некоторой гипотетической средней а_о при альтернативной гипотезе Н₁: Возможны два случая: 1) дисперсия признака в генеральной совокупности известна и равна ; 2) дисперсия неизвестна.

В первом случае, когда генеральная дисперсия известна, критерием согласия служит нормированная случайная величина подчиненная закону Эмпирическое значение критерия

(11.1)

сравнивают с критическим при заданном уровне значимости b. Решающее правило: если то нулевая гипотеза о равенстве выборочной и генеральной средних принимается; если же нулевую гипотезу следует отвергнуть.

В случае, если генеральная дисперсия неизвестна, для ее оценки используют исправленную выборочную дисперсию . В качестве критерия используется случайная величина распределенная по закону Стьюдента с степенями свободы. Эмпирическое значение критерия

(11.2)

сравнивается с критическим значением при заданном уровне значимости b и числе степеней свободы (табл. 5 Приложений).

Решающее правило: если гипотеза о равенстве средних принимается; в противном случае гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе Н₁: правая (левая) граница критической области определяется из равенства , а решающим правилом для принятия нулевой гипотезы является условие

Проверка гипотезы о равенстве генеральной дисперсии некоторой гипотетической дисперсии при альтернативной гипотезе осуществляется при помощи критерия с числом степеней свободы если генеральная средняя известна, и если генеральная средняя неизвестна. Эмпирическое значение

(11.3)

сравнивают с критическим , найденным из таблицы - распределения (табл. 4 Приложений) при заданном уровне значимости b и числе степеней свободы n. Если нулевая гипотеза принимается. При гипотезу следует отклонить.

При альтернативной гипотезе Н₁: определяют границы двусторонней критической области. Нулевая гипотеза принимается, если эмпирическое значение критерия удовлетворяет условию где В противном случае гипотезу отклоняют.

Предположим теперь, что произведено достаточно большое число n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, но неизвестна. Требуется при заданном уровне значимости b проверить нулевую гипотезу Н_о о том, что неизвестная вероятность р равна некоторой гипотетической вероятности p_о при альтернативной гипотезе Н₁: Известно, что случайная величина распределена асимптотически нормально. Ее эмпирическое значение

(11.4)

сравнивают с критическим найденным в табл. 2 Приложений. При нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если , нулевая гипотеза должна быть отвергнута.

При альтернативной гипотезе Н₁: правая (левая) граница критической области определяется равенством а решающим правилом для принятия гипотезы является условие В противном случае нулевая гипотеза отвергается.

11.1.Всоответствии с техническими условиями среднее время безотказной работы для приборов из большой партии должно составлять не менее 1000 часов со среднеквадратичным отклонением (СКВО) 100 часов. Выборочная средняя времени безотказной работы для случайно отобранных 25 приборов оказалась равной 970 часам. Считая, что выборочная и генеральная дисперсии совпадают, ответить на вопрос: удовлетворяет ли вся партия техническим условиям, если принять уровень значимости а)b = 0,10; б)b = 0,01?

11.2.Решить задачу 11.1 при условии, что выборочное СКВО составило часов.

11.3.Утверждается, что шарики, изготовленные станком-автоматом, имеют средний диаметр d₀= 10 мм. Проверить эту гипотезу, если в выборке из n = 16 шариков средний диаметр оказался равным 10,3мм, считая, что: а) дисперсия известна и равна б) оценка дисперсии, определенная по выборке, S² = = 1,21 мм². Принять уровень значимости b = 0,05.

11.4.Из большой партии резисторов одного типа и номинала случайным образом отобраны 36 штук. Выборочная средняя величины сопротивления при этом оказалась равной 9,3 кОм. Проверить гипотезу о том, что выборка взята из партии с номиналом 10 кОм, если: а) дисперсия величины сопротивления известна и равна 4 кОм²; б) дисперсия величины сопротивления неизвестна, а выборочная дисперсия равна 6,25 кОм². Принять b = 0,05.

11.5.По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота m/n = 0,14. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н_о : р = р_о = 0,20 при альтернативной гипотезе Н₁ : р ¹ 0,20.

11.6.Решить задачу11.5 приальтернативной гипотезе Н₁ : р < 0,20.

11.7.Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось 18 бракованных. Можно ли принять партию?

2. Сравнение дисперсий и средних двух совокупностей.Пусть имеются две независимые выборки малого объема n₁ и n₂ из двух нормальных генеральных совокупностей, по которым вычислены выборочные средние и и исправленные выборочные дисперсии . Генеральные дисперсии хоть и неизвестны, но считаются равными. Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что m_x = m_y (такие гипотезы о равенстве параметров двух распределений называются простыми). В качестве точечных оценок генеральных средних m_x и m_y можно использовать выборочные средние и , а для оценки дисперсий – средневзвешенную дисперсию

Если гипотеза Н_о верна, то случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией Тогда случайная величина Т = подчинена t - распределению Стьюдента с n = степенями свободы и служит критерием для оценки нулевой гипотезы о равенстве центров распределения m_x = m_y.

Критическое значение t_кр.= , соответствующее числу степеней свободы n = и заданному уровню значимости , определяют из табл. 5 Приложений ( t - распределения Стьюдента).

При альтернативной гипотезе m_x ¹ m_y эмпирическое значение t_эмп находят по формуле

t_эмп = где (11.5)

Если êt_эмпç , то с надежностью =1- гипотеза считается справедливой, в противном случае гипотеза отвергается.

Задача проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий сводится к сравнению выборочных дисперсий и (при альтернативной гипотезе ). Для построения критической области с заданным уровнем значимости используется F - распределение Фишера, плотность которого зависит только от объемов выборок n₁ и n₂.

Эмпирическое значение критерия определяется как отношение выборочных дисперсий

F_эмп= или F_эмп = (11.6)

(отношение составляется так, чтобы оно было больше единицы).

Критическое значение F_кр = определяют по табл. 6 Приложений (таблица F - распределения Фишера) при уровне значимости и степенях свободы n₁ = n₁ - 1 иn₂ = n₂ - 1.

Если F_эмп £ F_кр ,то гипотеза H₀ принимается, если же F_эмп > F_кр,то гипотеза отвергается.

Замечание. Сравнение параметров двух нормальных распределений следует начинать с гипотезы о равенстве дисперсий, и только затем, если она подтвердится, проверить гипотезу о равенстве средних.

11.8. Для сравнения работы двух однотипных измерительных приборов сняты две серии показаний в одних и тех же условиях. Объемы наблюдений n₁ = n₂ = 15. Получены выборочные средние = 9,79, = 9,60 и выборочные дисперсии = 0,096, = = 0,057. Требуется проверить гипотезы о равенстве параметров распределений, т.е. проверить однородность показаний приборов при уровне значимости = 0,05.

¢ Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий вычислим эмпирическое значение F – критерия Фишера.

F_эмп= .

Найдем табличное (критическое) значение критерия. При уровне значимости = 0,05 и числах степеней свободы n = n₁-1= n₂ -1 = 14 из табл. 6 Приложений находим F_кр = 2,47.

Как видно, F_эмп < F_кр , поэтому нет оснований считать, что приборы обладают различной точностью.

Вычислим теперь t - критерий для оценки различия средних. Согласно (11.1) получаем:

;

t_эмп=

При уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы n = 28 из таблицы t - распределения Стьюдента (табл. 5 Приложений) находим t_кр = 2,057.

Так как êt_эмп ê< t_кр , то различие средних показаний сравниваемых приборов можно считать несущественным. £

11.9.На двух аналитических весах, в одном и том же порядке взвешены 10 проб химического вещества и получены следующие результаты (в мг):

Установить, значимо ли различие средних и дисперсий результатов взвешиваний, считая, что они распределены нормально.

Принять

11.10.При исследовании влияния двух типов покрытия на удельную проводимость телевизионных трубок получены следующие результаты (в условных единицах):

№ трубки
I тип						-
II тип

Можно ли на основании этих данных считать, что тип покрытия влияет на удельную проводимость трубок? Принять

Вопрос о сравнении нескольких дисперсий и средних , имеющих числа степеней свободы решается с помощью критерия Бартлетта. Сначала вычисляется средневзвешенная дисперсия

(11.7)

а затем величины

(11.7а)

Бартлеттпоказал, что если все дисперсии соответствуют одной генеральной дисперсии, отношение распределено по закону, близкому к с числом степеней свободы m - 1 независимо от n_i (i = 1,2,...,m), лишь бы все n_i были не меньше 5. Значит, гипотеза о равенстве дисперсий принимается, если в противном случае различие между дисперсиями следует считать существенным.

Если все n_i равны между собой, более удобным (и более точным) является критерий Кохрана, показавшего, что случайная величина

(11.8)

имеет распределение, зависящее только от числа выборок m и от числа степеней свободы n, одинакового для всех дисперсий .

Вернемся к вопросу о сравнении нескольких средних. Предположим, что сравнение дисперсий m выборок показало несущественность различий между ними, т.е. всем выборкам соответствует единая генеральная дисперсия s². В качестве ее оценки можно взять средневзвешенную дисперсию S², а для оценки единой генеральной средней а можно взять общую среднюю всех выборок . Тогда для генеральной дисперсии можно дать следующую оценку:

(11.9)

где n_i - объем i-й выборки.

В этом случае отношение имеет F - распределение с числами степеней свободы m - 1 и . Тогда при уровне значимости можно найти предельное значение критерия и сравнить его с эмпирическим F_эмп = .

Если F_эмп ,то справедлива нулевая гипотеза о равенстве вы-борочных средних . В противном случае, когда F_эмп = > , нулевую гипотезу следует отклонить.

11.11.Проверить гипотезу о равенстве дисперсий по приведённым ниже данным. а) Выборочные дисперсии, вычисленные по результатам трёх серий независимых измерений концентрации :

Принять

б) Выборочные дисперсии величины контролируемого размера, полученные по результатам выборок из продукции 4-х станков, производящих одни и те же детали:

Принять

11.12.Проверить гипотезу о равенстве дисперсий и средних трех совокупностей, используя следующие результаты наблюдений:

	№ наблюдений
№ выборки
					-
				-	-

Принять b = 0,05.

Поиск по сайту: