Элементарная теория классического эффекта Холла (для носителей заряда одного типа)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ФИЗИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Методические указания к лабораторной работе

ИЗУЧЕНИЕ ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Минск

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель и задачи работы

1.1 Цель работы

1.2 Подготовка и задание к работе

2.Эффект Холла

2.1 Элементарная теория классического эффекта Холла (для носителей заряда одного типа)

2.2 Режим тока Холла

3. Методика измерения ЭДС Холла

3.1 Аппаратура и образцы для измерения эффекта Холла

3.2 Задание по работе

3.3. Исходные характеристики исследуемого образца

4 Указания по оформлению отчета

Приложение А Теория эффекта Холла для полупроводника со смешанной электропроводностью

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Цель работы

Целью работы является изучение физической сущности эффекта Холла – одного из физических явлений в полупроводниках – и практическое усвоение методики определения электрофизических характеристик полупроводниковых материалов с помощью эффекта Холла.

Подготовка и задание к работе

· изучить методические указания к лабораторной работе, обратив внимание на физическую сущность эффекта Холла и условия возникновения ЭДС либо тока Холла;

· ознакомиться с работой установки для проведения измерений ЭДС Холла методом постоянного поля и постоянного тока.

· измерить величины напряжения Холла (U_x) рассчитать коэффициент Холла (R_x), концентрацию (n) и подвижность (μ_x) носителей заряда.

ЭФФЕКТ ХОЛЛА

Эффект Холла является одним из гальваномагнитных (то есть обусловленных одновременным действием электрического и магнитного полей) явлений в полупроводниках. Он широко применяется на практике (например, для измерения напряженности (индукции) магнитного поля с помощью так называемых датчиков Холла) и в научных исследованиях (для изучения процессов переноса носителей заряда в полупроводниковых материалах).

Проявление эффекта Холла связано с возникновением ЭДС (классический эффект Холла) либо тока Холла.

Элементарная теория классического эффекта Холла (для носителей заряда одного типа)

Сущность классического эффекта Холла заключается в возникновении ЭДС, называемой ЭДС Холла, в направлении, перпендикулярном направлению тока, протекающего через образец, и направлению действующего на образец магнитного поля. Впервые появление поперечной (холловской) разности потенциалов в образце, находящемся в таких условиях, было зарегистрировано Э. Холлом в 1879 году на тонких пластинах золота.

Появление холловской разности потенциалов связано с действием силы Лоренца на движущиеся в кристалле заряды. Для количественного рассмотрения предположим, что образец полупроводника в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.1, а) имеет ширину а, толщину b и длину l, а ток протекает слева направо. В случае, если ток создается дырками, то скорость дрейфа V_p имеет то же направление, что и ток I (рис. 2.1, а, б). Если же носителями тока являются электроны, то V_n направлена в противоположную сторону (рис. 2.1, а, в).

Рис. 2.1. Отклонение электронов и дырок, движущихся в магнитном поле, в образце (а) и, в частности, дырок(б) и электронов (в).

Поместим полупроводник во внешнее магнитное поле, чтобы индукция В была направлена перпендикулярно току (к нам). При наличии внешнего магнитного поля на движущиеся носители тока действует сила Лоренца, которая перпендикулярна скорости их движения V и индукции магнитного поля B:

(2.1)

Для дырок векторное произведение и сила Лоренца будут направлены вниз, тогда как для электронов, заряд которых отрицателен, векторное произведение направлено вверх, а сила Лоренца – вниз (правило левой руки).

Следовательно, как дырки (в полупроводнике p-типа), так и электроны (в полупроводнике n-типа) будут отклоняться магнитным полем на нижнюю грань, а верхняя грань будет обедняться в первом случае дырками, во втором – электронами. Таким образом, в полупроводнике р-типа нижняя грань заряжается положительно, а верхняя грань – отрицательно. В результате возникает поперечное электрическое поле, называемое холловским полем, с напряженностью Е_x, которое направленно снизу вверх. В полупроводнике n–типа нижняя грань (при том же направлении тока) заряжается отрицательно, верхняя – положительно и холловское поле направлено сверху вниз. Если в переносе электрического тока участвуют и дырки и электроны (случай смешанной проводимости), то картина значительно усложняется. Этот случай рассмотрен в Приложении А.

Положения дырки и электрона, отклоненных магнитным полем при дрейфовом перемещении на протяжении длины свободного пробега Lp и Ln изображены на рис. 2.1. При этом предполагается, что холловское поле еще отсутствует. Углы φn и φp называют углами Холла.

Если изобразить векторы плотности тока дырок и электронов, то, учитывая направления поворотов φ_n и φ_p, имеем, что плотности тока j_p и j_n поворачиваются в противоположные стороны (рис. 2.2 а, б). Здесь предполагается, что либо холловское поле еще не действует, либо имеется неограниченный по направлению b образец (последнее можно моделировать с помощью образца в виде диска).

Рис. 2.2. Изменение направления плотности тока дырок (а) и электронов (б) в магнитном поле; jpy и jny – проекции плотности тока на направление внешнего электрического поля.

В обычных условиях для ограниченного образца полупроводника накопление зарядов, отклоненных магнитным полем, происходит до тех пор, пока не уравновесятся силы, действующие на электрон (то есть сила, связанная с возникающим холловским полем не нейтрализует силу Лоренца). После достижения указанного динамического равновесия можно считать, что при наличии одного типа носителей заряда плотность тока j_p и j_n не отклоняется магнитным полем. Следовательно, при дальнейшем длительном пребывании полупроводника с током в поперечном магнитном поле устанавливается определенная поперечная разность потенциалов, которая при разомкнутой цепи и есть ЭДС Холла. Полная напряженность поля E_n является векторной суммой E и E_xn составляет с E угол Холла φ (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Угол Холла в дырочном (а) и электронном (б) полупроводниках.

Итак, при одном типе носителей заряда условием, определяющим холловское поле, является равенство абсолютных значений силы Лоренца и силы возникающего холловского поля:

(2.2)

или

(2.3)

Равенство (2.3) не может выполняться одновременно для всех электронов (дырок), имеющих различные по величине и направлению скорости. В действительности стационарное состояние наступает не тогда, когда сила Лоренца уравновешивает силу электрического поля для каждого электрона (это вообще не может быть), а когда ток, создаваемый холловским полем, компенсирует ток на боковую грань, создаваемый магнитным полем. Поэтому в выражении (2.3) стоит средняя скорость дрейфа.

Умножая обе части (2.3) на концентрацию электронов n, получим для полупроводника

n–типа

(2.4)

Поскольку произведение neV_ср равно плотности тока, то есть:

(2.5)

где а·b=S – площадь поперечного сечения образца, показанного на рис. 2.1, то на основании (2.4) и (2.5) получаем

(2.6)

Разность потенциалов = E_xnb будет иметь вид:

(2.7)

Более точные расчеты, выполненные с учетом статистического распределения носителей заряда по скоростям в невырожденных полупроводниках, показывают, что

(2.8)

где А – постоянная величина, так называемый холл–фактор. Его значение определяется механизмами рассеяния.

Для полупроводниковых материалов основными механизмами рассеяния носителей тока являются рассеяние на тепловых колебаниях решетки и на ионах примесей. При рассеянии электронов на акустических колебаниях решётки, что имеет место в классических полупроводниковых материалах (например, в Si, Ge, InSb) при относительно высоких температурах (включая комнатную),

При рассеянии на ионах примеси

В металлах и сильно вырожденных полупроводниках, в которых все носители имеют одинаковую тепловую скорость, можно принять A=1.

Для полупроводника n-типа формулу (2.8) можно переписать в виде

(2.9)

где е – заряд электрона.

Коэффициент пропорциональности

(2.10)

называют постоянной Холла или коэффициентом Холла.

Для полупроводника р–типа коэффициент Холла

(2.11)

Соотношения (2.8), (2.10) и (2.11) играют чрезвычайно важную роль в физике полупроводников. Они показывают, что концентрация носителей заряда, их знак могут быть найдены экспериментально. Для этого необходимо в образце с известными геометрическими размерами измерить холловскую разность потенциалов и определить коэффициент Холла:

(2.12)

Зная коэффициент Холла и удельную электрическую проводимость материала, можно рассчитать холловскую подвижность . Действительно, домножив обе части уравнения типа (2.10) на , нетрудно установить взаимосвязь между этими величинами в виде следующего соотношения:

(2.13)

Следует иметь ввиду, что холловская подвижность совпадает с дрейфовой только при А=1.

Входящую в выражение (2.13) величину также можно определить экспериментально, измерив (см. ниже), или же, если известно сопротивление образца R_обр, рассчитать, воспользовавшись формулой:

(2.14)

где l, a, b – геометрические параметры образца.

Необходимо отметить, что при выводе выражения для коэффициента Холла и холловской подвижности использовались формулы (2.5) и (2.12), которые справедливы только в случае, когда магнитное поле отсутствует либо оно мало. Условие слабого магнитного поля можно записать в виде . Как правило, это условие выполняется при измерении эффекта Холла.

Режим тока Холла

Как следует из вышеизложенного, ЭДС Холла возникает при включении магнитного поля из-за накопления зарядов нестационарным холловским током на боковых гранях у поверхностей центральной части длинного и узкого образца. Если же образец короткий (см. рис. 2.4, 2.5), то есть длина образца (а) много меньше его ширины (b), то сила Лоренца, как и в предыдущем случае, отклоняет электроны. Однако в силу специфичной геометрии образца это не приводит к накоплению заряда где-либо в центральной части образца, а значит, и образованию там составляющей поля вдоль оси оу. Поле, уравновешивающее силу Лоренца, не возникает, а, следовательно, вдоль оси оу протекает стационарный холловский ток (I_y). Для его нахождения достаточно сделать разрыв токового электрода (расщепить электрод, см. рис. 2.5), а в разрыв включить измеритель тока. Основоположниками метода тока Холла являются Добровольский и Гриценко. Они использовали впервые этот метод в 1962 году для исследования процессов рассеяния в высокоомных полупроводниках.

Если вблизи поверхности образца происходит накопление зарядов (например, в случае, когда ≤ 5), то E_y=0. Следствием этого является изменение по сравнению с центральной частью плотности токов j_y и j_x. Области неоднородности напряженности электрического поля простираются на расстояние (1…1,5)а от соответствующих поверхностей и в них происходит замыкание противоположных контактов из-за протекания холловского тока. Можно показать, что через каждую пару контактов замыкается 0,5 I_x.

Рис. 2.4. Эффект Холла в «коротком» образце	Рис. 2.5. Образец с ращеплёнными электродами для измерений эффекта Холлав режиме тока Холла (Ix=Ix1+Ix2; Iy=Iy1+Iy2)

При количественном рассмотрении учитывается, что E_y=0. Теоретически это условие выполняется в бесконечном образце, практически оно реализуется в диске Корбино (один электрод размещен в центре диска в виде оси, а второй – по ободу диска в виде кольца), а также в прямоугольном «коротком» образце (cм. рис. 2.4 и 2.5), ширина которого намного больше его длины.

Как отмечалось выше, в скрещенных электрическом и магнитном полях носители заряда под действием силы Лоренца F будут отклоняться в направлении у и, не встречая противодействия поперечного поля E_y, образовывать поперечный компонент тока плотностью j (см. рис. 2.4). В этом случае угол Холла будет определяться отношением плотностей токов j_y к j_x:

(2.15)

Векторы результирующего тока j (см. рис. 2.2) и результирующего поля Е (см. рис. 2.3) отклоняются в разные стороны относительно оси х.

Из выражения (2.15) следует

(2.16)

Полный ток Холла в образце с двумя расщепленными электродами (рис. 2.5) определяется выражением:

(2.17)

Значение подвижности носителей заряда в исследуемых образцах можно определить на основе соотношения:

(2.18)

а величину электропроводности, воспользовавшись формулой:

(2.19)

Третий параметр R_x, а значит и концентрацию носителей заряда, можно получить из комбинации первых двух:

(2.20)

Отметим, что если в режиме ЭДС Холла измеряется подвижность носителей, движущихся в направлении первичного тока , то в режиме тока Холла – подвижность носителей, движущихся в направлении вторичного тока . Величина

(2.21)

называется коэффициентом анизотропии кристалла.

При исследовании высокоомных материалов измерение в режиме тока Холла имеет преимущество перед измерением в режиме ЭДС Холла. Это связано с тем, что для измерителя тока значительно легче осуществить режим «короткого замыкания» R_П<<R_об (где , – соответственно внутреннее сопротивление измерительного прибора и сопротивление образца), чем «электрометрический режим» (R_П>>R_об) для измерителя напряжения. Кроме того, небольшая асимметрия между двумя частями разорванных электродов практически не влияет на результаты измерений в высокоомных образцах. Тогда как при измерении ЭДС Холла небольшая асимметрия в расположении потенциальных контактов может привести к большим погрешностям измерений величин.

К преимуществам режима тока Холла следует отнести тот факт, что токи, протекающие в разных сечениях образца по его толщине, аддитивно складываются. Следовательно, в токе Холла аддитивно складываются поверхностный и объемные токи. Это означает, что, изменяя величину прикладываемого к поверхности образца напряжения, можно разделить вклад поверхностного и объемного токов. Этот подход обычно используется при измерении подвижности носителей заряда в различных слоях неоднородных по толщине образцах, расположенных перпендикулярно направлению первичного тока .

Метод тока Холла успешно применяется для исследования подвижности носителей заряда в изоляторах, МДП-структурах. Важно только, чтобы при измерениях на таких объектах время диэлектрической (максвелловской) релаксации было существенно меньше, чем время установления холловского сигнала.

Следует иметь в виду, что метод тока Холла более подвержен влиянию контактных шумов, чем метод измерения ЭДС Холла, так как измеряемый сигнал снимается непосредственно с электродов, через которые протекает первичный ток. Поэтому контакты к образцу должны быть омическими.

Поиск по сайту: