Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:
- прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;
- прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;
- прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;
- прямые совпадают.
Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями
где - точки, принадлежащие прямым и соответственно, а - направляющие векторы.
Обозначим через
вектор, соединяющий заданные точки.
Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:
-прямые и скрещивающиеся <=>векторы не компланарны;
-прямые и пересекаются <=> векторы компланарны, а векторы не коллинеарны
--прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;
-прямые и совпадают векторы коллинеарны.
Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:
Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности
Поэтому:
-прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;
-прямые и _, пересекаются . определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, ;
-прямые и параллельные вторая и третья строки определи теля пропорциональны, а первые две строки не пропорциональны;
- прямые и , совпадают все строки определителя пропорцио-
нальны.
Пример 6.Выяснить, лежат ли в одной плоскости прямые
Решение. Прямые лежат в одной плоскости, если их направляющие векторы и вектор, соединяющий точки на этих прямых, компланарны (их смешанное произведение равно нулю).
Выпишем из уравнений и координаты направляющих векторов , и точек Прямая задана параметрически, поэтому координаты – это коэффициенты при параметре а координаты точки – свободные члены, то есть ={3; 1; –1}, M1(–2; 1; 2). Прямая задана канонически, поэтому координаты – знаменатели отношений, а координаты точки – свободные члены числителей с минусом, то есть
={2; –1; 1}, M2(1; –1; 0).
Координаты вектора есть разности координат то есть
(3; –2; –2). Найдем смешанное произведение векторов
Смешанное произведение векторов не ноль, следовательно, эти векторы не компланарны, и прямые не лежат в одной плоскости.