Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Замечания.1. Для перехода от общего уравнения прямой к каноническим нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение системы

определив тем самым координаты точки принадлежащей прямой;

2)найти направляющий вектор прямой, перпендикулярный к векторам нормалей каждой из плоскостей как векторное роизведение

нормалей заданных плос-

костей:

3) записать канонические уравнения с учетом п.1 и 2.

2.Чтобы перейти от канонических уравнений к общему, достаточно двойные равенства записать в виде системы

и привести подобные члены.

3. Чтобы перейти от канонических уравнений к параметрическим, следует приравнять каждую дробь в уравнениях параметру t и запи­сать полученные равенства в виде системы:

Пример3. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей и .

Решение: 1)Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы уравнений исключим . Положим , тогда: , откуда находим: , . Таким образом, нашли координаты фиксированной точки .

2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

.

3) Запишем канонические уравнения: , или .

4) Обозначив , получаем параметрические уравнения:

, , .

Пример 4.Составить канонические и общее уравнения прямых, про­ходящих через точку параллельно: а) вектору ={3; 2; 1} б) векто­ру ={0; -1; 3}; в) оси

Решение:

а)Пусть прямая проходит через точку параллельно векто­ру ={3; 2; 1} , тогда канонические уравнения имеют вид:

. Канонические уравнения прямой представляет собой два равенства, запишем их, объединив системой:

Упростим уравнения в этой системе,используя свойства пропорции:

Получим общее уравнение Причем,каждое уравнение этой системы задает плоскость, содержащую прямую .

б)Пусть прямая проходит через точку параллельно векто­ру ={0; -1; 3} , тогда канонические уравнения имеют вид:

Ноль в знаменателе канонических уравнений прямой означает, что числитель тоже равен нулю, то есть и у всех точек пря мой абсцисса одинакова, . Таким образом, получено уравнение одной плоскости, в которой лежит . Преобразуем равенство и получим уравнение второй плоскости, содержащей

Общее уравнение :

б) Пусть прямая проходит через точку параллельно оси , тогда она параллельна орту то есть . Канонические уравнения имеют вид : Нули знаменателя в канониче-

ских уравнениях прямой означают, что числители тоже равны нулю, то есть у всех точек прямой : . Плоскость – это плоскость, параллельная координатной плоскости и отстоящая от нее на 2 единицы, а – это плоскость, параллельная координатной плоскости и отстоя­щая от нее на 4 единицы. Таким образом, прямая может быть задана пересе­чением плоскостей , и общее уравнение :