Исследование положений равновесия и фазовые портреты линейных автономных систем на плоскости – случаи узла, седла, фокуса и центра.

Схема построения фазового портрета

1. Определить точки покоя системы.

2. Выписать характеристическое уравнение (3) и найти корни и - собственные значения матрицы системы.

3. По таблице определить тип точки покоя.

4. Начертить фазовый портрет.

a) Если точка покоя является узлом или седлом, то следует найти собственные вектора матрицы и начертить определяемые этими векторами прямые на фазовой плоскости. В случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая отвечает меньшему по абсолютной величине собственному значению.
б) Если точка покоя является фокусом, то нужно определить направление закручивания траекторий. Для этого достаточно построить в какой-либо точке вектор скорости , определяемый по формулам (2).
в) В оставшихся случаях вид траекторий можно определить, непосредственно решая данную систему. Для этого ее нужно записать в виде .
5. Определить направление движения по фазовым траекториям и изобразить его стрелками на фазовом портрете. Оно определяется устойчивостью (к) или неустойчивостью (от) исследуемого положения равновесия.
В случае седла сначала нужно показать направления движения по прямым, определяемым собственными векторами, учитывая, что движение по прямой, соответствующей отрицательному собственному значению, происходит к точке покоя, а по прямой, соответствующей положительному собственному значению, - от нее. По всем остальным фазовым траекториям движение происходит согласно указанным уже направлениям.

Классификация точек покоя.

Корни характеристического уравнения	Качественная картина фазовых траекторий	Название положения равновесия
если λ1 и λ2 - комплексные числа, то a. если a = 0, то точка устойчива, но не асимптотически и называется центром;		Центр
если a < 0, то точка асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом если a > 0, то точка неустойчива и называется неустойчивым фокусом		Фокус
если λ1, λ2 - вещественные положительные числа. Тогда точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом если λ1 и λ2 - вещественные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называетсяустойчивым узлом		Узел
если λ1 и λ2 - вещественные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом		Седло

Поиск по сайту: