Биноминальное распределение.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт неразрушающего контроля

Направление – Приборостроение

Кафедра – Физические методы и приборы контроля качества

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №1

по курсу «Статистические методы контроля и управления»

Законы распределения вероятностей

дискретных случайных величин

Выполнил студент гр.1Б01 15.03.2012 Д.В.Струговцов

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Проверил доцент каф. ФМПК ________ _______ Л.А. Редько

^{должность Подпись Дата И.О.Фамилия}

Томск – 2012

Цель работы: научиться использовать законы распределения вероятностей случайных величин для решения задач статистического контроля качества; научиться использовать графическую и табличную формы представления распределения вероятностей случайных величин в пакете Excel.

Теоретическая часть

Случайная величина Х называется дискретной, если она может принимать конечное или счетное число различных значений х₁, х₂, х₃…

Один из способов задания случайной величины – с помощью функции распределения – вероятности того, что случайная величина X окажется меньше некоторого значения x.

F(x)=P(X<x)

Этот способ задания случайной величины может быть использован как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения и плотности распределения.

Если задача позволяет явно записать математическое выражение, представляющее случайную величину, можно вычислить точную вероятность любого ее значения. В этом случае можно вычислить и перечислить все значения функции распределения.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение используется для оценки количества успехов в выборке, состоящей из n наблюдений.

Таким образом, случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону распределения, принимает значения от 0 до n.

Биномиальное распределение используется для моделирования ситуаций, характеризующихся следующими особенностями.

Выборка состоит из фиксированного числа элементов n, представляющих собой исходы некоего испытания.

Каждый элемент выборки принадлежит одной из двух взаимоисключающих категорий, исчерпывающих все выборочное пространство. Как правило, эти две категории называют успех и неудача.

Вероятность успеха р является постоянной. Следовательно, вероятность неудачи равна 1-р.

Исход (т.е. удача или неудача) любого испытания не зависит от результата другого испытания.

Чтобы гарантировать независимость исходов, элементы выборки, как правило, получают с помощью двух разных методов. Каждый элемент выборки случайным образом извлекается из бесконечной генеральной совокупности без возвращения или из конечной генеральной совокупности с возвращением.

Количество вариантов выбора X объектов из выборки, содержащей n элементов, определяется по формуле сочетания:

Где n!=1*2*…*n – факториал числа n, причем 0!=1 и 1!=1.

Формула биноминального распределения

где Р(Х) – вероятность Х успехов при заданном объеме выборки n и вероятности успеха р, Х = 0,1,2, … ,n.

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение, как и биномиальное, позволяет оценить количество успехов в серии из n испытаний.

Разница между ними заключается лишь в способе получения исходных данных.

В биномиальной модели данные выбираются либо из конечной генеральной совокупности с возвращением либо из бесконечной генеральной совокупности без возвращения.

В гипергеометрической модели данные извлекаются только из конечной генеральной совокупности без возвращения.

Таким образом, в то время как в биномиальной модели вероятность успеха р остается постоянной, а испытания не зависят друг от друга, в гипергеометрической модели эти условия не выполняются. Наоборот, в гипергеометрической модели каждый исход зависит от предыдущих исходов.

Гипергеометрическое распределение, описывающее вероятность X успехов при заданных параметрах n, N и А, задается формулой:

где Р(Х) — вероятность X успехов при заданных n, N и А, n — объем выборки, N — объем генеральной совокупности, А — количество успешных исходов в генеральной совокупности, N - А — количество неудачных исходов в генеральной совокупности, X — количество успехов в выборке, N - X — количество неудачных исходов в выборке.

Количество успехов X в выборке не может превосходить количество успехов А в генеральной совокупности либо объем выборки n. Таким образом, диапазон значений, которые может принимать случайная величина, подчиняющаяся гипергеометрическому распределению, ограничен либо объемом выборки (как и диапазон биномиальной переменной), либо объемом генеральной совокупности.

Распределение Пуассона

Пуассоновский процесс (Poisson process) возникает в ситуациях, обладающих следующими свойствами. Нас интересует, сколько раз происходит некое событие в заданной области возможных исходов случайного эксперимента. Область возможных исходов (area of opportunity) может представлять собой интервал времени, отрезок, поверхность и т.п. Вероятность данного события одинакова для всех областей возможных исходов. Количество событий, происходящих в одной области возможных исходов, не зависит от количества событий, происходящих в других областях. Вероятность того, что в одной и той же области возможных исходов данное событие происходит больше одного раза, стремится к нулю по мере уменьшения области возможных исходов.

Распределение Пуассона имеет один параметр λ (греческая буква «лямбда»). Этим параметром является среднее количество успешных испытаний в заданной области возможных исходов.

Распределение Пуассона описывается формулой:

где Р(Х) — вероятность X успешных испытаний, λ — ожидаемое количество успехов, е — основание натурального логарифма, равное 2,71828, X — количество успехов в единицу времени.

Ход выполнения работы

Расчет вероятностей

Биноминальное распределение.

* Вычислим следующие вероятности:

1 P(X=0), если n=4, p=0.12

2 P(X=9), Р(Х≤8), Р(Х<6) если n=10, p=0,4

3 P(X=8), Р(Х≤7), Р(Х>5) если n=10, p=0.5

4 P(X=5), Р(Х≤3), Р(Х>2)если n=6, p=0.83

5 P(X=9), если n=10, p=0.9

Excel

Поиск по сайту: