Нагадаємо, що канонічним видом кососиметричної форми є наступний вигляд:
.
Приведемо дану форму до необхідного вигляду. Для цього згрупуємо доданки, що містять , і винесемо їх за дужки:
. (8.2)
Покладемо:
Звідси:
(8.3)
Підставимо (8.3) у (8.2) і зберемо доданки, що містять :
. (8.4)
Введемо ще одну заміну змінних:
Виразимо з останніх співвідношень , , через , :
(8.5)
Підставимо вирази (8.5) у (8.4). Тим самим отримаємо канонічний вид кососиметричної форми:
.
2.Знайдіть значення, при якому квадратична форма додатно визначена:
.
Розв’язання:
Для відповіді на це питання скористаємося критерієм Сильвестра. Складемо матрицю квадратичної форми:
.
Обчислимо значення її головних мінорів:
, , .
Очевидно, що при форма буде додатно визначена.
3.Приведіть квадратичну форму до канонічного виду методом Лагранжа:
.
Розв’язання:
Оскільки , то звернемо увагу на доданки, що містять (підкреслені):
.
Введемо заміну:
(8.6)
Внаслідок цього квадратична форма набере вигляду:
.
Підкреслимо доданки з та застосуємо ще одне перетворення змінних:
(8.7)
Останнє дає можливість записати дану квадратичну форму в канонічному виді:
.
Для отримання лінійного перетворення, що приводить вихідну квадратичну форму до знайденого канонічного виду, необхідно підставити формули (8.7) у (8.6). Отже,
4.Приведіть квадратичну форму до канонічного виду методом ортогональних перетворень:
.
Розв’язання:
Складемо матрицю Грама даної квадратичної форми:
.
Знайдемо її власні значення (вони будуть коефіцієнтами при квадратах змінних в шуканому канонічному виді):
.
Звідси – шуканий канонічний вид даної квадратичної форми.
Для знаходження перетворення, що приводить дану квадратичну форму до канонічного виду, знайдемо власні вектори, що відповідають знайденим власним значенням.
При :
Власний вектор, що відповідає власному значенню : .
При :
Власні вектори, що відповідають власному значенню кратності 2: , .
Легко перевірити, що , а . Знайдемо координати вектора з умов: . Помножимо скалярно рівність на вектор . Отримаємо, що . Покладемо і одержимо координати вектора .
Нормуємо знайдені вектори:
Оскільки вони вже попарно ортогональні, то складемо матрицю переходу:
.
А, отже, лінійне перетворення, що приводить дану квадратичну форму до канонічного виду, можна записати у вигляді системи:
5.Приведіть квадратичну форму до канонічного виду методом Якобі:
.
Розв’язання:
Складемо матрицю Грама і знайдемо її головні мінори:
,
Тоді – шуканий канонічний вид.
6.Зведіть пару квадратичних форм
,
до канонічного виду одним лінійним перетворенням.
Розв’язання:
Перевіримо за критерієм Сільвестра, яка з наведених квадратичних форм додатно визначена. Для цього запишемо їх матриці:
, .
Не важко з’ясувати, що , а , , , . Отже, додатно визначеною виявилася форма .
Застосуємо метод Лагранжа до додатно визначеної форми . Лінійним перетворенням
(8.8)
форма зведеться до вигляду: . Застосувавши таке саме перетворення до форми , отримаємо .
До квадратичної форми застосуємо метод ортогональних перетворень. Запишемо матрицю цієї форми та знайдемо її власні значення і відповідні їм власні вектори:
,
; кратності 1, кратності 3.
При :
;
Отже, власному значенню відповідає власний вектор .
При :
;
Фундаментальну систему розв’язків даної системи утворюють вектори: , , . Нескладно переконатись, що всі вектори попарно ортогональні, окрім та : . Знайдемо новий вектор за умови, що , , . Його координати мають задовольняти системі рівнянь:
;
Таким чином, .
Нормуємо отримані вектори
;
;
;
та запишемо їх по стовпцях матриці ортогонального перетворення :
.
Тобто перетворенням змінних
,
(8.9)
квадратична форма зводиться до . При цьому ж перетворенні квадратична форма не зміниться, бо її матриця підлягає перетворенню .
Підставимо (8.9) в (8.8) та отримаємо сумарне перетворення
або в скороченому вигляді
що приводить форми та до канонічного виду: , .
Завдання для самостійного розв’язування
1.Нехай – дійсний лінійний простір. Перевірте, чи є лінійною на функція , якщо:
1) , де – задані дійсні числа, – координати вектора у деякому базисі простору ;
2) – простір вільних векторів, , де – заданий вектор;
3) ;
4) , де – задане дійсне число;
5) , , де – задана функція з .
2.Нехай – дійсний лінійний простір. Перевірте, що відображення є білінійною симетричною функцією на , якщо:
1) ;
2) – простір вільних векторів, ;
3) , ;
4) , , де – симетрична функція.
3.Чи є білінійною функцією на - вимірному просторі функція , де – перші координати векторів та у деякому базисі?
4.Запишіть матрицю білінійної функції в ортонормованому базисі , якщо .
5.Запишіть матрицю білінійної функції в заданому базисі дійсного лінійного простору , якщо:
1) – простір вільних векторів, , базис: а) ;
б) ;
2) – простір вільних векторів, , , базис:
а) ; б) ;
3) , , базис: а) ;
б) ;
4) , , базис:
а) ; б) ;
5) , , базис: а) ;
б) .
6.Запишіть матрицю даної білінійної форми та відповідну їй квадратичну форму в - вимірному лінійному просторі:
1) ;
2) .
7.Відновіть симетричну білінійну форму в - вимірному лінійному просторі за даною квадратичною формою та складіть її матрицю:
1) ; 2) .
8.Зведіть до нормального виду дані квадратичні форми. Визначте їх ранг, додатний та від’ємний індекси інерції та сигнатуру. Які з даних форм додатно визначені, від’ємно визначені або напіввизначені?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
9.Знайдіть канонічний вид та одне перетворення координат, що приводить до цього виду, для квадратичних форм над :
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ;
8) ;
9) .
10.З’ясуйте, які з квадратичних форм еквівалентні між собою: а) над ; б) над . У випадку позитивної відповіді над полем знайдіть перетворення координат, що переводить форму в еквівалентну:
1) ;
2) ;
3) ,
,
;
4) ;
5) , ,
.
11.Знайдіть всі значення , при яких додатно визначені квадратичні форми:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
12.З’ясуйте, що в наступних парах квадратичних форм одна є додатно визначеною; знайдіть не вироджене лінійне перетворення, що приводить цю форму до нормального, а іншу до канонічного виду; запишіть цей канонічний вид:
1) ;
2) ;
3) ; ;
4) ; ;
5) ; .
13.Знайдіть ортогональне перетворення, що приводить наступні квадратичні форми до канонічного виду, запишіть цей вид: