Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Приклади розв’язування задач



1.Знайдіть канонічний вид кососиметричної форми:

.

Розв’язання:

Нагадаємо, що канонічним видом кососиметричної форми є наступний вигляд:

.

Приведемо дану форму до необхідного вигляду. Для цього згрупуємо доданки, що містять , і винесемо їх за дужки:

. (8.2)

Покладемо:

Звідси:

(8.3)

Підставимо (8.3) у (8.2) і зберемо доданки, що містять :

. (8.4)

Введемо ще одну заміну змінних:

Виразимо з останніх співвідношень , , через , :

(8.5)

Підставимо вирази (8.5) у (8.4). Тим самим отримаємо канонічний вид кососиметричної форми:

.

2.Знайдіть значення, при якому квадратична форма додатно визначена:

.

Розв’язання:

Для відповіді на це питання скористаємося критерієм Сильвестра. Складемо матрицю квадратичної форми:

.

Обчислимо значення її головних мінорів:

, , .

Очевидно, що при форма буде додатно визначена.

3.Приведіть квадратичну форму до канонічного виду методом Лагранжа:

.

Розв’язання:

Оскільки , то звернемо увагу на доданки, що містять (підкреслені):

.

Введемо заміну:

(8.6)

Внаслідок цього квадратична форма набере вигляду:

.

Підкреслимо доданки з та застосуємо ще одне перетворення змінних:

(8.7)

Останнє дає можливість записати дану квадратичну форму в канонічному виді:

.

Для отримання лінійного перетворення, що приводить вихідну квадратичну форму до знайденого канонічного виду, необхідно підставити формули (8.7) у (8.6). Отже,

4.Приведіть квадратичну форму до канонічного виду методом ортогональних перетворень:

.

Розв’язання:

Складемо матрицю Грама даної квадратичної форми:

.

Знайдемо її власні значення (вони будуть коефіцієнтами при квадратах змінних в шуканому канонічному виді):

.

Звідси – шуканий канонічний вид даної квадратичної форми.

Для знаходження перетворення, що приводить дану квадратичну форму до канонічного виду, знайдемо власні вектори, що відповідають знайденим власним значенням.

При :

Власний вектор, що відповідає власному значенню : .

При :

Власні вектори, що відповідають власному значенню кратності 2: , .

Легко перевірити, що , а . Знайдемо координати вектора з умов: . Помножимо скалярно рівність на вектор . Отримаємо, що . Покладемо і одержимо координати вектора .

Нормуємо знайдені вектори:

Оскільки вони вже попарно ортогональні, то складемо матрицю переходу:

.

А, отже, лінійне перетворення, що приводить дану квадратичну форму до канонічного виду, можна записати у вигляді системи:

5.Приведіть квадратичну форму до канонічного виду методом Якобі:

.

Розв’язання:

Складемо матрицю Грама і знайдемо її головні мінори:

,

Тоді – шуканий канонічний вид.

6.Зведіть пару квадратичних форм

,

до канонічного виду одним лінійним перетворенням.

Розв’язання:

Перевіримо за критерієм Сільвестра, яка з наведених квадратичних форм додатно визначена. Для цього запишемо їх матриці:

, .

Не важко з’ясувати, що , а , , , . Отже, додатно визначеною виявилася форма .

Застосуємо метод Лагранжа до додатно визначеної форми . Лінійним перетворенням

(8.8)

форма зведеться до вигляду: . Застосувавши таке саме перетворення до форми , отримаємо .

До квадратичної форми застосуємо метод ортогональних перетворень. Запишемо матрицю цієї форми та знайдемо її власні значення і відповідні їм власні вектори:

,

; кратності 1, кратності 3.

При :

;

Отже, власному значенню відповідає власний вектор .

При :

;

Фундаментальну систему розв’язків даної системи утворюють вектори: , , . Нескладно переконатись, що всі вектори попарно ортогональні, окрім та : . Знайдемо новий вектор за умови, що , , . Його координати мають задовольняти системі рівнянь:

;

Таким чином, .

Нормуємо отримані вектори

;

;

;

та запишемо їх по стовпцях матриці ортогонального перетворення :

.

Тобто перетворенням змінних

,

(8.9)

квадратична форма зводиться до . При цьому ж перетворенні квадратична форма не зміниться, бо її матриця підлягає перетворенню .

Підставимо (8.9) в (8.8) та отримаємо сумарне перетворення

або в скороченому вигляді

що приводить форми та до канонічного виду: , .

Завдання для самостійного розв’язування

1.Нехай – дійсний лінійний простір. Перевірте, чи є лінійною на функція , якщо:

1) , де – задані дійсні числа, – координати вектора у деякому базисі простору ;

2) – простір вільних векторів, , де – заданий вектор;

3) ;

4) , де – задане дійсне число;

5) , , де – задана функція з .

2.Нехай – дійсний лінійний простір. Перевірте, що відображення є білінійною симетричною функцією на , якщо:

1) ;

2) – простір вільних векторів, ;

3) , ;

4) , , де – симетрична функція.

3.Чи є білінійною функцією на - вимірному просторі функція , де – перші координати векторів та у деякому базисі?

4.Запишіть матрицю білінійної функції в ортонормованому базисі , якщо .

5.Запишіть матрицю білінійної функції в заданому базисі дійсного лінійного простору , якщо:

1) – простір вільних векторів, , базис: а) ;

б) ;

2) – простір вільних векторів, , , базис:

а) ; б) ;

3) , , базис: а) ;

б) ;

4) , , базис:

а) ; б) ;

5) , , базис: а) ;

б) .

6.Запишіть матрицю даної білінійної форми та відповідну їй квадратичну форму в - вимірному лінійному просторі:

1) ;

2) .

7.Відновіть симетричну білінійну форму в - вимірному лінійному просторі за даною квадратичною формою та складіть її матрицю:

1) ; 2) .

8.Зведіть до нормального виду дані квадратичні форми. Визначте їх ранг, додатний та від’ємний індекси інерції та сигнатуру. Які з даних форм додатно визначені, від’ємно визначені або напіввизначені?

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

9.Знайдіть канонічний вид та одне перетворення координат, що приводить до цього виду, для квадратичних форм над :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) .

10.З’ясуйте, які з квадратичних форм еквівалентні між собою: а) над ; б) над . У випадку позитивної відповіді над полем знайдіть перетворення координат, що переводить форму в еквівалентну:

1) ;

2) ;

3) ,

,

;

4) ;

5) , ,

.

11.Знайдіть всі значення , при яких додатно визначені квадратичні форми:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

12.З’ясуйте, що в наступних парах квадратичних форм одна є додатно визначеною; знайдіть не вироджене лінійне перетворення, що приводить цю форму до нормального, а іншу до канонічного виду; запишіть цей канонічний вид:

1) ;

2) ;

3) ; ;

4) ; ;

5) ; .

13.Знайдіть ортогональне перетворення, що приводить наступні квадратичні форми до канонічного виду, запишіть цей вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.