«ДОСЛІДЖЕННЯ ОСОБЛИВОСТЕЙ ОЦІНКИ РЕЗУЛЬТАТІВ І ПОХИБОК
СУКУПНИХ (СУМІСНИХ ) ВИМІРЮВАНЬ»
1. Мета роботи
Дослідження особливостей статистичної обробки експериментальних даних при сукупних (сумісних) вимірюваннях.
Програма роботи
2.1 Вивчення методів оцінки результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань;
2.2. Дослідження особливостей оцінки результатів і похибок сукупних вимірювань .
2.3. Отримання практичних навичок з статистичної обробки експериментальних даних при сукупних вимірюваннях.
3. Підготовка до виконання роботи
3.1. За конспектом лекцiй вивчити матерiали підроздiлу 5.4 «Оцінка результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань».
3.2. Вивчити:
мету та програму роботи;
форми представлення та оформлення результатів досліджень.
3.3. Підготувати бланк звіту: записати мету та програму роботи, основні співвідношення, намалювати таблиці.
3.4. Перевірити ступень готовності до лабораторної роботи по контрольним питанням, які надруковані в кінці опису даної роботи.
4. Короткі відомості з теорії
А.Згідно з визначенням (див. підр. 1.5) відмінність між сумісними та сукупними вимірюваннями складається у тому, що у першому випадку ОВ однорідні а в випадку 2 – різнорідні. Підхід до обробки експериментальних даних при сумісних та сукупних вимірюваннях єдиний, оскільки для обох випадків за формою системи рівнянь однакові (1.6) або у стислому вигляді
, (5.36)
де - значення шуканих величин, ; m - число шуканих величин; - значення величин, вимірюваних прямими або опосередкованими методами в q-му досліді, ; n - число дослідів; k - число величин, які вимірюються в кожному досліді.Після проведення n дослідів одержують n комбінацій значень вимірюваних величин .
Б. При n<m система (5.36) не має вирішення. При n=m рішення є, але помилки результатів вимірювань будуть великі, оскільки система замість точних значень ФВ включає результати їх вимірювань з залишковими похибками
. (5.37)
При n>m система (5.36) також не має вирішення за наявності .Тому задача зводиться до знаходження оцінок шуканих величин , найбільш наближених до істинних значень , методом найменших квадратів (МНК).
В. Згідно з МНК оцінки вибирають так, щоб мінімізувати суму квадратів відхилів
. ( 5.38)
Його використання розглянемо застосовано лінійних функцій F і r = 1.
Тоді система (1.6) має вигляд
,
………………………………
,
тобто стисло
, (5.39)
де i,j – номери рядка і стовбцю відповідно. Рівняння (5.39) мають назву умовних.В дійсності праві частини цих рівнянь дорівнюють залишковим похибкам
Підставляючи (5.40) у (5.41) і проводячи необхідні перетворення, одержимо систему нормальних рівнянь
, 1,2,…,m, (5.42)
тобто
,
,
………………………….
.
Система нормальних рівнянь має рішення, оскільки число шуканих величин дорівнює числу рівнянь. На практиці найчастіше маємо випадок m≤3.
Розглянемо методику обробки результатів сумісних та сукупних вимірювань.
При m=3 система умовних рівнянь
;
(5.43)
,
а система нормальних рівнянь
;
; (5.44)
.
Формули для знаходження коефіцієнтів і значень мають вигляд
; ; ;
; ; ; (5.45)
Оцінки шуканих величин визначають, розв’язуючи систему нормальних рівнянь (5.44) з допомогою одного з методів: який ґрунтується на послідовному виключенні невідомих (метод Гауса); або з застосуванням визначника. При числу невідомих m<4 кращий другий метод
, j=1,2,3, (5.46)
де головний визначник D = , (5.47)
D1= ; D2= ; D3= (5.48)
- часткові визначники системи (5.44). Для визначення оцінки СКВ результатів вимірювань шуканих величин підставимо оцінки шуканих величин в систему умовних рівнянь (5.40) знайдемо суму квадратів відхилів . Оцінка СКВ результатів вимірювань дорівнює
= , (5.49)
де - ад'юнкти елементів головної діагоналі визначника D при , які отримають викреслюванням рядка та стовбцю для даного елемента з наступним множенням на (-1)р+j. При m=3 маємо вирази для ад'юнкт
; ; . (5.50)
При m=2 система нормальних рівнянь (5.44) спрощується, оскільки , . Головний і часткові визначники мають вигляд
D= ; D1= ; D2= (5.51)
а оцінки шуканих величин
, . (5.52)
Довірчі границі випадкової складової похибки результатів сумісних та сукупнихвимірювання визначають за формулою
, (5.51)
де - коефіцієнт Стьюдента, що відповідає ймовірності Р і числу ступенів k=n-m (див. додаток 8).