Экстремум функции нескольких переменных
Функция имеет в точке максимум (минимум) , если вблизи этой точки для всех точек , отличных от , выполняется условие
; .
Необходимое условие существования экстремума
Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то частные производные в этой точке равны нулю, т.е.
; .
Пример 3.3. Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Найдем частные производные
; .
Приравняем их к нулю и получим систему из двух уравнений:
Откуда
; .
В данной критической точке функция
имеет минимум, т.к. вблизи этой точки для любых точек , отличных от , значение функции больше нуля.
Индивидуальные задания
Задание 1. Найти пределы.
Из предложенных ответов выбрать верный.
вариант 1
1) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 2.
| 2) ;
| а) ;
| б) –4;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) 2;
| г) –2.
| 4) ;
| а) 12;
| б) 4;
| в) 3;
| г) 0.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) .
|
вариант 2
1) ;
| а) ;
| б) 3;
| в) 0;
| г) .
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) 2;
| б) ;
| в) 0;
| г) 4.
| 4) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) 1.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
|
вариант 3
1) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 2) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) 1;
| г) .
| 3) ;
| а) 0;
| б) 4;
| в) 2;
| г) .
| 4) ;
| а) 0;
| б) 8;
| в) ;
| г) .
| 5) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| вариант 4
1) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 2) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) 5;
| г) .
| 3) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) 1.
| 4) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) 14;
| г) .
| 5) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| вариант 5
1) ;
| а) 4;
| б) 9;
| в) 0;
| г) .
| 2) ;
| а) ;
| б) 14;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 4) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
|
вариант 6
1) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) 4.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) 5;
| б) ;
| в) 0;
| г) -1.
| 4) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) 1.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
|
вариант 7
1) ;
| а) 0;
| б) 4;
| в) ;
| г) -5.
| 2) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) -2.
| 3) ;
| а) 0;
| б) -1;
| в) ;
| г) -3.
| 4) ;
| а) 0;
| б) -1;
| в) ;
| г) 7.
| 5) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
|
Вариант 8
1) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 2) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 4) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 5) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
|
вариант 9
1) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) 1.
| 2) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 4) ;
| а) 1;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б)0;
| в) ;
| г) .
|
вариант 10
1) ;
| а) ;
| б) 2;
| в) 0;
| г) .
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) –1.
| 3) ;
| а) ;
| б) 5;
| в) 0;
| г) .
| 4) ;
| а) ;
| б) 1;
| в) 0;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| вариант 11
1) ;
| а) 1;
| б) 0;
| в) -5;
| г) .
| 2) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) 1;
| г) .
| 3) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) 1;
| г) .
| 4) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
|
вариант 12
1) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) 8.
| 2) ;
| а) 3;
| б) 0;
| в) ;
| г) -3.
| 3) ;
| а) -2;
| б) 0;
| в) ;
| г) -5.
| 4) ;
| а) 5;
| б) 0;
| в) ;
| г) 1.
| 5) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| вариант 13
1) ;
| а) 0;
| б) 3;
| в) ;
| г) .
| 2) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 4) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 5) ;
| а) 0;
| б) 1;
| в) ;
| г) .
| вариант 14
1) ;
| а) ;
| б) 2;
| в) ;
| г) 0.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 3) ;
| а) 10;
| б) -5;
| в) ;
| г) 0.
| 4) ;
| а) -2;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| вариант 15
1) ;
| а) 10;
| б) ;
| в) -3;
| г) 0.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 3) ;
| а) 7;
| б) ;
| в) -1;
| г) 0.
| 4) ;
| а) 3;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| вариант 16
1) ;
| а) 5;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 2) ;
| а) ;
| б) -2;
| в) ;
| г) 0.
| 3) ;
| а) 2;
| б) -3;
| в) ;
| г) 0.
| 4) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| вариант 17
1) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) 0;
| г) 2.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) –1;
| б) ;
| в) 0;
| г) 2.
| 4) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) 0;
| г) 3.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) 1.
| вариант 18
1) ;
| а) 2;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 2) ;
| а) -2;
| б) ;
| в) 0;
| г) 2.
| 3) ;
| а) –2;
| б) ;
| в) 0;
| г) 2.
| 4) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
|
вариант 19
1) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) -9.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) ;
| б) -3;
| в) 0;
| г) 3.
| 4) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| вариант 20
1) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 2) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) ;
| б) -2;
| в) 0;
| г) .
| 4) ;
| а) -5;
| б) 5;
| в) 0;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
|
вариант 21
1) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) -1.
| 2) ;
| а) -4;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) 1;
| б) ;
| в) 0;
| г) -8.
| 4) ;
| а) 3;
| б) ;
| в) 0;
| г) 1.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| вариант 22
1) ;
| а) 0;
| б) -5;
| в) ;
| г) .
| 2) ;
| а) 0;
| б) -2;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) 0;
| б) 3;
| в) ;
| г) .
| 4) ;
| а) 0;
| б) 4;
| в) ;
| г) -4.
| 5) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| вариант 23
1) ;
| а) 5;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 2) ;
| а) ;
| б) -3;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) -1;
| б) 3,5;
| в) 0;
| г) .
| 4) ;
| а) 10;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
|
вариант 24
1) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 3) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 4) ;
| а) ;
| б) -1;
| в) 1;
| г) 0.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| вариант 25
1) ;
| а) ;
| б) -1;
| в) ;
| г) 0.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
| 3) ;
| а) 1;
| б) -1;
| в) ;
| г) 0.
| 4) ;
| а) 2;
| б) 1;
| в) ;
| г) 0.
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) ;
| г) 0.
|
вариант 26
1) ;
| а) 2;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 2) ;
| а) -1;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) -2;
| б) 0;
| в) 4;
| г) .
| 4) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 5) ;
| а) 1;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
|
вариант 27
1) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) 8;
| г) 1.
| 2) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) 1.
| 3) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 4) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) 2,5;
| г) 1.
| 5) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| вариант 28
1) ;
| а) ;
| б) 6;
| в) 0;
| г) 8.
| 2) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 3) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) -1.
| 4) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) ;
| в) 0;
| г) .
| вариант 29
1) ;
| а) 2;
| б) 0;
| в) ;
| г) -7.
| 2) ;
| а) 1;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) 1;
| б) 0;
| в) ;
| г) 2.
| 4) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
| 5) ;
| а) ;
| б) 0;
| в) ;
| г) .
|
вариант 30
1) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) -7.
| 2) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 3) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
| 4) ;
| а) 0;
| б) 18;
| в) ;
| г) 3.
| 5) ;
| а) 0;
| б) ;
| в) ;
| г) .
|
Поиск по сайту:
|