1. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.
.
2. Производная произведения равна сумме произведений производной одного из множителей на остальные, т.е.
.
3. Производная частного:
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.
.
5. Пусть , а , т.о. . Тогда производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной, т.е.
.
Пример 2.1.Найти производную функции
Решение.Полагая , ; ; получим
При достаточном количестве упражнений необходимость в записи промежуточных переменных отпадает.
Если функция задана неявно, т.е. уравнением, не разрешенным относительно ( ), то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .
Пример 2.2.Найти производную функции .
Решение.Дифференцируем по обе части данного равенства и считаем функцией от , находим
.
Из полученного равенства находим .
;
;
.
Логарифмическая производная функции есть производная от логарифма данной функции:
.
Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием.
Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида , а также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.
Пример 2.3.Найти производную функции .
Решение.Функция – степенно-показательная.
Прежде чем дифференцировать, прологарифмируем данную функцию:
;
.
Дифференцируем как неявно заданную функцию:
Из полученного равенства выразим :
Вместо подставим :
.
Пример 2.4.Найти производную функции .
Решение.Прологарифмируем данную функцию
;
.
Дифференцируем:
.
Дифференциал функции
Дифференциалом функции называется главная линейная относительно часть ее приращения.
Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:
. (2.4.1)
Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:
. (2.4.2)
Основные правила нахождения дифференциалов аналогичны основным правилам вычисления производных:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
Если достаточно мало, то имеет место приближенное равенство:
,
которое используется при применении дифференциала к приближенным вычислениям.