Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основные правила дифференцирования



1. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.

.

2. Производная произведения равна сумме произведений производной одного из множителей на остальные, т.е.

.

3. Производная частного:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

.

5. Пусть , а , т.о. . Тогда производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной, т.е.

.

Пример 2.1.Найти производную функции

Решение.Полагая , ; ; получим

При достаточном количестве упражнений необходимость в записи промежуточных переменных отпадает.

Если функция задана неявно, т.е. уравнением, не разрешенным относительно ( ), то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .

Пример 2.2.Найти производную функции .

Решение.Дифференцируем по обе части данного равенства и считаем функцией от , находим

.

Из полученного равенства находим .

;

;

.

Логарифмическая производная функции есть производная от логарифма данной функции:

.

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида , а также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.

Пример 2.3.Найти производную функции .

Решение.Функция – степенно-показательная.

Прежде чем дифференцировать, прологарифмируем данную функцию:

;

.

Дифференцируем как неявно заданную функцию:

Из полученного равенства выразим :

Вместо подставим :

.

Пример 2.4.Найти производную функции .

Решение.Прологарифмируем данную функцию

;

.

Дифференцируем:

.

Дифференциал функции

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно часть ее приращения.

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

. (2.4.1)

Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

. (2.4.2)

Основные правила нахождения дифференциалов аналогичны основным правилам вычисления производных:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Если достаточно мало, то имеет место приближенное равенство:

,

которое используется при применении дифференциала к приближенным вычислениям.

(2.4.3)

Пример 2.5.Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию и положим , .

Воспользовавшись формулой (2.4.3), найдем .

.

.

.

Таким образом, , т.е. .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.