Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний Марковского процесса с непрерывным временем

Рассмотрим дискретный Марковский процесс на интервале t,t + (t – текущее время);

S₀ ,…,S_n - состояния МП

- элемент матрицы переходных вероятностей.

Левую и правую части делим на и переходим к пределу, при

, j = 0,1,2…,n;

_______________________________________________________________

Это система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей

состояний дискретного МП с непрерывным временем

Формальное правило записи системы уравнения Колмогорова

l_i·l_·i

Число слагаемых в уравнении для состояния S_i –равно числу

дуг связанных с данным состоянием.

l_··i l_i··

Если дуги выходят из S_i, то слагаемое берется со знаком «-», если входит, то «+».

Каждое слагаемое равно: произведению интенсивности перехода по дуге на вероятность состояния, из которого дуга выходит:

Решение находится обычно операторным методом (путем перехода от оригиналов – функций

p_i(t) – к их изображениям - p⁰(s) – путем преобразования Лапласа)

Таблица преобразований по Лапласу

Оригинал p(t)	Изображение по Лапласу p0(s)

Решение системы уравнений Колмогорова (пример)

Пример:

Дано:

l l

S₀ S₁ S₂

m

Преобразуем по Лапласу левые и правые части каждого уравнения

из (1) (5)

из (3) (6)

Подставляем (5) и (6) в (4):

s₁ и s₂ - корни уравнения

Переходим от изображения к оригиналу (см.табл. 2.5.4)

Предельное поведение МП с непрерывным

Временем

Вычисление предельных (стационарных) вероятностей состояний дискретного Марковского процесса с непрерывным временем

В стационарных режимах и

j = 0,1,…,n

2.5.2 Схема “гибели и размножения”

l₀ l₁ l ₂ l_m-1 l_m l_n-1

….. …..

m₁ m₂ m₃ m_m m_m+1 m_n

2.5.3 Определение стационарных вероятностей состояний

для схемы “гибели и размножения”

Из (0) :

Из(1) :

Потоки событий

Потоки событий – это последовательность однородных событий, следующих одно за другим:

t --- это поток событий

- событие

Поток называется случайным, если длительность периода между событиями – СВ.

Существует 2 способа описания случайных потоков:

1) K₁ K₂ K₃ … K_n t

K₁,…,K_n - случайные числа событий на последовательных интервалах.

Функция распределения векторной случайной величины

K=( K₁,…,K_n) – является характеристикой потока

F_K1…Kn(k_1…k_n) = Вер(K₁<k₁,…,K_n<k_n)

2) T₁₂ T₂₃

1 2 3 … n

T₁₂, T₂₃,…, T_n-1,n - случайные интервалы между последовательными событиями

Функция распределения векторной СВ T = (T₁₂, T₂₃,…, T_n-1,n)

F_{T12,Tn-1, n}(t₁₂,…, t_n-1,n) = Вер{ T₁₂< t₁₂,…, T_n-1,n< t_n-1,n} является характеристикой случайного потока.

Поиск по сайту: