система линейных уравнений в скалярном виде ( - коэффициенты при переменных и свободные коэффициенты – известные числа, - неизвестные)
или в матричном сокращенном виде:
Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда - т.е. число уравнений равно числу неизвестных.В этом случае матрица системы будет квадратной.Еёопределитель называется определителем системы.В зависимости от значения определителя возможны три случая:
=> система алгебраических уравнений имеет единственное решение (совместная и определённая)
система алгебраических уравнений не имеет решений (несовместная)
система алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений
(совместная и неопределённая)
Методы решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей
Метод обратной матрицы (рассмотрен на прошлой лекции)
- система в матричном виде
формула для поиска решения (в случае )
Метод Крамера
Метод Гаусса
Рассмотрим подробно методы Крамера и Гаусса.
Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений
(в случае )
(на примере системы из двух уравнений с двумя неизвестными)
Дано:
- система в скалярном виде .
Требуется решить её методом Крамера
1 шаг - записать систему в матричном виде:
2 шаг: вычислить - определитель системы.
(определитель вычисляется крест на крест)
Если , то на 3 шаг не переходим. В этом случае систему нельзя решить методом Крамера, т.к. она не имеет единственного решения.
Если , то переходим к третьему шагу.
Шаг – вычислить ещё 2 дополнительные характеристики
- определитель матрицы системы, он получается после замены первого столбца матрицы A столбцом свободных коэффициентов B
определитель матрицы системы, он получается после замены второго столбца матрицы A столбцом свободных коэффициентов B
(определители вычисляются крест на крест)
4 шаг – по найденным выше трём характеристикам ищется решение
формулы для поиска решения по методу Крамера
Метод Крамера не подходит для решения систем большой размерности, т.е. носит чисто теоретический характер. Это связано с тем, что вычисление определителей очень длительный процесс и даже современным компьютерам не под силу справиться с этой задачей.
При подсчёте каждого определителя по приведенным выше формулам надо вычислить слагаемых, что нереально уже при умеренных . Например, уже при имеем . Если одно слагаемое вычисляется за секунд, что вполне допустимо для современных машин, то время расчёта составит совершенно фантастическую цифру :
лет.
Пример:
1 шаг:
2 шаг:
=> переходим к 3 шагу
3 шаг:
4 шаг:
(* - как считать определители - см. предыдущую лекцию)
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (рассмотрим на примере системы из трёх уравнений и трёх неизвестных)
В отличие от метода Крамера метод Гаусса подходит для решения систем большой размерности.Приведём сведения для оценки его трудоёмкости.
формула оценки времени расчёта на компьютере системы из n уравнений в минутах при условии, что на одну операцию надо сек.