Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (рассмотрим на примере системы из трёх уравнений и трёх неизвестных)



Высшая математика

Семестр

Лекция № 2.

Методы решения систем линейных уравнений.

система линейных уравнений в скалярном виде ( - коэффициенты при переменных и свободные коэффициенты – известные числа, - неизвестные)

или в матричном сокращенном виде:

Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда - т.е. число уравнений равно числу неизвестных.В этом случае матрица системы будет квадратной.Еёопределитель называется определителем системы.В зависимости от значения определителя возможны три случая:

 

=> система алгебраических уравнений имеет единственное решение (совместная и определённая)

 

система алгебраических уравнений не имеет решений (несовместная)

система алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений

(совместная и неопределённая)

Методы решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей

  1. Метод обратной матрицы (рассмотрен на прошлой лекции)

- система в матричном виде

формула для поиска решения (в случае )

  1. Метод Крамера
  2. Метод Гаусса

Рассмотрим подробно методы Крамера и Гаусса.

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений

(в случае )

(на примере системы из двух уравнений с двумя неизвестными)

Дано:

- система в скалярном виде .

Требуется решить её методом Крамера

1 шаг - записать систему в матричном виде:

2 шаг: вычислить - определитель системы.

(определитель вычисляется крест на крест)

Если , то на 3 шаг не переходим. В этом случае систему нельзя решить методом Крамера, т.к. она не имеет единственного решения.

Если , то переходим к третьему шагу.

Шаг – вычислить ещё 2 дополнительные характеристики

- определитель матрицы системы, он получается после замены первого столбца матрицы A столбцом свободных коэффициентов B

определитель матрицы системы, он получается после замены второго столбца матрицы A столбцом свободных коэффициентов B

(определители вычисляются крест на крест)

4 шаг – по найденным выше трём характеристикам ищется решение

формулы для поиска решения по методу Крамера

Метод Крамера не подходит для решения систем большой размерности, т.е. носит чисто теоретический характер. Это связано с тем, что вычисление определителей очень длительный процесс и даже современным компьютерам не под силу справиться с этой задачей.

При подсчёте каждого определителя по приведенным выше формулам надо вычислить слагаемых, что нереально уже при умеренных . Например, уже при имеем . Если одно слагаемое вычисляется за секунд, что вполне допустимо для современных машин, то время расчёта составит совершенно фантастическую цифру :

лет.

 

Пример:

1 шаг:

2 шаг:

=> переходим к 3 шагу

3 шаг:

4 шаг:

(* - как считать определители - см. предыдущую лекцию)

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (рассмотрим на примере системы из трёх уравнений и трёх неизвестных)

В отличие от метода Крамера метод Гаусса подходит для решения систем большой размерности.Приведём сведения для оценки его трудоёмкости.

 

формула оценки времени расчёта на компьютере системы из n уравнений в минутах при условии, что на одну операцию надо сек.

0,01 мин. – время расчёта для 100 уравнений

11 мин. – время расчёта для 1000 уравнений

7 дней– время расчёта для 10000 уравнений

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.