Выражения (16–17) справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин.

Пример 1. Дана случайная величина X:

Пользуясь неравенством Маркова, оценить вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 11?

Решение.Исходя из условия будем рассуждать так: (Х<11)=Р(X=2)+Р(Х=4)+ +Р(Х=6)+Р(Х=8)+Р(Х=10)=0,1+0,2+0,25+0,15+0,15=0,85.

Используя неравенство Маркова (17), получаем

Р(Х<11)≥1–М(Х)/11=1–(2·0,1+4·0,2+6·0,25+8·0,15+10·0,15+12·0,15)/11=1–(0,2+0,8+1,5+1,2+1,8)/11=1–7/11=1–0,636=0,364. Р(Х<11)≥0,364.

Пример 2. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе составляет 20000000 руб., а вероятность того, то случайно взятый вклад меньше 100000 равна 0,8. Каково число вкладчиков сберегательной кассы?

Решение.Пусть X – величина случайно взятого вклада, а n – число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что М(Х)=20000000/n; Р(X<100000)=0,8, и по неравенству Маркова Р(X<100000)≥1–М(Х)/100000.

Т.е. 0,8≥1–20000000/(n·100000); 20000000/(n·100000)≥0,2; 200≥n·0,2; n≤1000.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше данного положительного числа ε, ограничена снизу величиной

1–D(X)/ε², т.е. Р(|X–M(X)|<ε)≥1–D(X)/ε². (18)

Из (18) переходом к противоположному событию можно получить:

Р(|X–M(X)|≥ε)≤D(X)/ε². (19)

Пример 3. Вероятность наступления некоторого события р=0,3 в каждом из n=900 независимых испытаний. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что событие повторится число раз, заключенное в пределах от m₁=240 до m₂=300.

Решение.Здесь по условиям задачи имеет место биномиальный эксперимент. Следовательно: М(X)=а=пр=900∙0,3=270; ε=|240–270|=|300–270|=30; D(X)=npq=900∙0,3∙0,7=189; Р(|X–270|≤30)≥1–D(X)/ε²=1–189/30²=1–0,21=0,79, т.е. Р(|X–270|≤30≥0,79.

Теорема устанавливает связь в между средней арифметической наблюдаемых значений случайной величины X и М(X)=а.

Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию», т.е. для любого положительного ε

Р(| –а|<ε)=1. (20)

Смысл выражения « сходится по вероятности к a» состоит в том, что вероятность того, что будет сколь угодно мало отличаться от a, неограниченно приближаясь к 1 с ростом n. Для конечного n применим неравенство Чебышева для случайной величины

Р(| –M( )|<ε)≥1–D( )/(ε²). (21)

Подставляя в это неравенство значения M( ) и D( ), получим

Р(| –M(X)|<ε)≥1–D(X)/(n∙ε²).

Если в (21) взять сколь угодно малое ε>0и n®¥, то получим

что и доказывает теорему Чебышева.

Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом, чем больше опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка ( –а)не превзойдет заданную величину ε.

Кроме того, можно решать другие практические задачи. Например, по значениям вероятности (надежности) Р=Р(| –а|<ε)и максимальной допустимой ошибке ε, определить необходимое число опытов n; по Р и п определить ε; по ε и п определить границу вероятности события | –а|<ε.

Пример 4. Дисперсия случайной величины X равна 4. Сколько требуется произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от математического ожидания менее чем на 0,5?

Решение.По условию задачи ε=0,5; Р(| –а|<0,5)≥0,9; n=? Применив формулу (21), получим P(|X–M(X)|<ε)≥1–D(X)/(n∙ε²). Из соотношения

1–D(X)/(n∙ε²)=0.9 определяем п =D(X)/(0,1∙ε²)=4/(0,1∙0,25)=160.

Если использовать утверждение, что в любом случае средняя арифметическая распределена примерно нормально, то получаем:

Р(| –а|<ε)=2Φ₀(ε√n/σ)≥0,9. Откуда, воспользовавшись таблицей интеграла вероятностей, получим ε√n/σ≥1,645 или √n≥6,58, т.е. n≥49.

Пример 5. Дисперсия случайной величины D(X)=5. Произведено 100 независимых опытов, по которым вычислено . Вместо неизвестного значения математического ожидания а принята . Определить максимальную величину ошибки, допускаемую при этом, с вероятною не менее 0,8.

Решение.По условию n=100, Р(| –а|<ε)≥0,8; ε=? Применяем формулу (21)

Р(| -а|<ε)≥1–D(X)/(n∙ε²).

Из соотношения 1–D(X)/(n∙ε²)=0,8 определяем ε:

ε²=D(X)/(0,2∙n)=5/(0,2∙100)=0,25; ε=0,5.

Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна Р.

Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний п относительная частота m/n появления события А сходится по вероятности к вероятности p события А, т.е.

где ε – сколь угодно малое положительное число. Для конечного n при условии, что , неравенство Чебышева для случайной величины m/n будет иметь вид:

P(|m/n–p|<ε)≥1–pq/(n∙ε²). (22)

Каким бы малым ни было число ε при n→∞ величина дроби pq/(n∙ε²)→0, а P(|m/n–p|<ε)→1.

Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота т/п появления события практически утрачивает свой случайный характер, приближаясь к постоянной величине p – вероятности данного события. В этом и состоит принцип практической уверенности.