Показательный закон распределения непрерывных случайных величин.

Экспоненциальное (показательное) распределение тесно связано с распределением Пуассона, которое используется для вычисления вероятности появления события в некоторый период времени. Распределение Пуассона – это распределение числа появления событий в заданный интервал времени длиной t. Единственный параметр распределения Пуассона λ характеризует интенсивность процесса, т.е. с его помощью мы можем вычислить среднее число появления события.

Например, в банк в среднем входит пять посетителей в час. Предположим, что нас интересует длина промежутка времени до появления первого посетителя в банке. Такая задача решается при помощи экспоненциального распределения, а не распределения Пуассона.

Другие примеры. Интервалы времени до поступления первого телефонного звонка на станцию, время ожидания такси также подчиняются экспоненциальному закону.

Определение 8.Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

(12)

где λ постоянная положительная величина.

Функция показательного закона распределения:

Числовые характеристики непрерывной случайной величины X, которая распределена по экспоненциальному (показательному) закону:

· математическое ожидание М(Х)=1/λ, (13)

· дисперсия D(x)=1/λ², (14)

· среднеквадратичное отклонение s(x)=1/λ. (15)

Закон больших чисел.

В широком смысле слова под «законом больших чисел» понимаютсвойство устойчивости случайных массовых явлений. Это свойство состоит в том, что средний результат действия большого числа случайных явленийпрактически перерастает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью. Оно вытекает из того, что индивидуальные особенности отдельных случайных явлений, их отклонения от среднего результата в массе своей взаимно погашаются, выравниваются.

В узком смысле слова под «законом больших чисел» понимают совокупность теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик к некоторым постоянным величинам в результате большого числа наблюдений.

Различные формы закона больших чисел дают возможность уверенно оперировать со случайными величинами, осуществлять научные прогнозы случайных явлений и оценивать точность этих прогнозов.

Формулировка закона больших чисел, развитие идеи и методов доказательства теорем, относящихся к этому закону, принадлежат русским ученым: П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову и A.M. Ляпунову. Приведенные здесь формы закона больших чисел даются без доказательства.

Доказательство закона больших чисел основано на неравенстве Чебышева. Неравенство Маркова в литературе иногда называется леммой Маркова или леммой Чебышева, так как оно является частным случаем неравенства Чебышева.

Лемма Маркова.Если случайная величина Х не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа α справедливо неравенство:

P(Х≥α)≤М(Х)/α. (16)

События Х<α и Х≥α – противоположные, поэтому, используя (16), получаем

Р(Х<α)=1–Р(Х≥α)≥1–М(Х)/α. (17)

Поиск по сайту: