Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Операция умножения матрицы. Правило умножения матрицы



Умножение определенно только в том случае когда количество столбцов 1-ого сомножителя совпадает с количеством строк 2-ого сомножителя.

A(m x n) * B(n x p) = C(m x p)

Свойство операций умножения матрицы.

1. А*В ≠ В*А

2. λ(А*В) = (λА)*В = А*(λВ)

3. (А + В)*С = А*С + В*С

4. А*(В + С) = А*В + А*С

5. (А*В)*С = А*(В*С)

6. А-кв => А*Е = Е*А = А

Обратная матрица к данной. Определение.

Пусть А невырожденная, тогда А-1 – называется обратной матрицей А, если выполняется условие

А-1 * А = А * А-1 = Е

Условие существования и единственности обратной матрицы для данной.

Любая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу.

det А ≠ 0, то матрица невырожденная.

Формула для нахождения обратной матрицы для данной.

 

67. Решение матричного уровня АХ = В с помощью обратной матрицы.

Пусть А(n x n) невырожденная, тогда система уравнений АХ = В имеет единственное решение.

A(n x 1) = A-1(n x n) * B(n x 1) AX = B

A-1 * AX = A-1 *B

E*X =A-1 *B

X =A-1 *B

Базисный минор матрицы. Определение.

Базисный минор – это минор наибольшего порядка, ≠ 0.

Ранг матрицы. Определение.

Ранг матрицы – это порядок базисного минора.

Теорема о базисном миноре.

Любой столбец матрицы может быть представлен в виде линейных комбинаций базисных столбцов (тоже самое для строк).

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Общее понятие.

 

 

1. СЛАУ – называется однородной, если все свободные члены = 0.

2. Любой упорядоченный набор чисел х12 ,…хn подстановка которых вместо переменных будет обращать уравнения системы в верное тождества называется решением системы.

3. Системы, имеющие хотя бы одно решение, называется совместными.

4. Системы, имеющие единственное решение называются определенными.

Теорема Крамера.

Рассмотрим частный случай когда основная матрица системы квадратная, то есть когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.

Система n-линейных алгебраических уравнений с n-неизвестными имеет единственное решение, если определитель основной матрицы ≠ 0, причем это решение можно найти по формулам

 

Так как матрица коэффициентов А невырождена, то существует единственная А-1 .

AX = B

A-1 * AX = A-1 *B

E*X =A-1 *B

X =A-1 *B

Теорема Кронекара – Капелли.

 

 

Совместно ó rg A = rg A*

 

 

Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все свободные члены ее уравнений равны нулю.

 

 

A(m x n) * x(n x 1) = ʘ(m x 1)

Так как rg A и rg A* всегда совпадают => система всегда совместна.

У однородной системы всегда существует очевидное решение – тривиальное.

х1 = х2 = … =хn = 0

Нетривиальные решения однородных систем линейных алгебраических уравнений.

Для того чтобы однородная система имела не нулевое решение необходимо и достаточно, что бы ранг был <n, отсюда следует, что любая однородная система у которых число уравнений меньше неизвестных (m <n) имеет не тривиальное решение.

Однородная система у которой m = n имела не тривиальное решение необходимо и достаточно, что бы ее основной определитель = 0

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Пусть А квадратная матрица размер (n x n) любой не нулевой столбец Х называется собственным вектором А собственно числу λ, если выполняется А*Х = λХ

Для нахождения собственных чисел и собственных векторов преобразуем правую часть

А*Х = λЕ*Х

(А - λЕ)*Х = ʘ

Система не однородна и имеет не тривиальное решение <=> когда определитель основной матрицы системы = 0

det(А - λЕ) = 0

 

 

Найдя собственные числа λ и подставляя их поочередно в (А - λЕ)*Х = ʘ можно найти решения однородных систем. Таким образом перебирая собственные числа, получим все собственные векторы А.

 

Многочлены. Теорема Безу.

Pn(r) = a0 rn + a1 rn-1 + … + an

ai , r ϵ C

ai – коэффициент n – степень многочлена

Число r0 называется корнем многочлена, если выполняется равенство Pn(r0) = 0.

Теорема Безу: остаток от деления многочлена Pn(r) на двучлен r – r0 равен значению многочлена в точке r1 .

Формулировка основной теоремы алгебры.

Любой многочлен Pn(r) степени n имеет ровно n комплексных корней считаемых вместе со своими кратностями.

83.

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.