Пусть задано множество L элементов любой природы и заданы правила по которым выполняется две операции
1.
2. каждому элементу X из L и любому вещественному числу, ставиться соответствие элементу S из Z, называется произведением λ*Х. пусть кроме этого эти две операции удовлетворяют следующим условиям:
Аксиомы
1. x+y=y+x ᵿ x,yϵZ
2. (x+y)+z=x+(y+z) ᵿ x,y,zϵZ
3. ᴲ Ȱ х+Ȱ=х ᵿ xϵZ
4. x+(-x)=0 ᵿ xϵZ
5. x*1=x ᵿ xϵZ
6. λ(µx)=(λµ)x ᵿ xϵZ, ᵿ λ,µϵR
7. (λ+µ)*x=λx+µx ᵿ xϵZ, ᵿ λ,µϵR
8. λ(x+y)=λx+λy ᵿ xϵZ, ᵿ λ,µϵR
Определение линейной зависимости элементов.
Система векторов х1,...хn ϵL называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация=0.
Определение линейной независимости элементов.
Система векторов х1,...хn ϵL называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация =0
Теоремы о линейной зависимости элементов.
1. Если в системе векторов х1,...хn хотя бы один элемент =0, то система линейно зависима.
2. Если в системе векторов х1,...хn содержит линейно зависимые подсистему х1,...хm (m<n), то исходная система линейно зависима.
Базис в пространстве. Декартов базис.
Базисом в пространстве L называют любую упорядоченную конечную систему векторов удовлетворяющим условиям:
1. Эта система линейно независима.
2. Каждый вектор x из L можно представить в виде линейной комбинации векторов входящих в эту систему.
Любой не Ȱ вектор ǡ, например, любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов ǡ1 ǡ2 на плоскости и любая упорядоченная тройка неколлинеарных векторов ǡ1 ǡ2 ǡ3 в пространстве. Называется базисом множества всех векторов лежащих соответственно на прямой, на плоскости и в пространстве сами эти векторы называются базисами декартов.
Декартовая система координат.
Осями декартовой системы координат является ортонормированный базис.
ǡ1 ḻ ǡ2 ḻ ǡ3 – ортогональный базис
│ǡ1│=│ǡ2│=│ǡ3│=1 – нормированный базис
Проекция вектора на ось.
Проекция ǡ на ось l – это длина вектора │ǡ’│ начало и конец которого получены проецированием на ось l начала и конца вектора ǡ .
x=axПрохǡ
y=ayПрoyǡ
z=azПрozǡ
Если вектор ǡ’ и х сонаправлены, то проекция положительна. Если вектора противонаправлены, то – отрицательна.
Проекция ǡ=│ǡ│*cos(х^ǡ) тогда кординаты вектора можно , кординаты это проекция вектора на координатную ось.
Геометрический смысл координат.
x=│ǡ│cosα
y=│ǡ│cosβ
z=│ǡ│cosϒ
ǡ= x ī + yῑ + zǩ = │ǡ│*( cosαȋ + cosβῑ + cosϒǩ )
Геометрический смысл линейной зависимости 2-х векторов.
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные.
ǡ=λḃ => ǡ││ḃ
Геометрический смысл линейной зависимости 3-х векторов.
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они комплонарны.
ĉ = λǡ + µḃ * т.к. ḃ и ǡ лежат в одной плоскости => λǡ и µḃ тоже лежат в одной плоскости, * задает формулу сложения векторов по правилу параллелограмма => ĉ лежит в той же плоскости.
Линейная зависимость 4-х векторов.
Любые 4 (и более) векторов в пространстве линейно зависимы.
Скалярное произведение векторов. Определение.
Скалярное произведение ǡ на ḃ называется число = произведения |ǡ|*|ḃ|cos (ǡ^ ḃ)
ǡ*ḃ = |ǡ| Прǡ ḃ
Свойства скалярного произведения.
1. ǡ*ḃ = ḃ*ǡ
2. ( λǡ )ḃ = λ(ǡ*ḃ)
3. (ǡ+ḃ)*ĉ = ǡĉ+ḃĉ
4. ǡ ḻ ḃ <=> ǡ*ḃ=0
5. ǡ*ǡ = ǡ2 = | ǡ2| |ǡ| = ǡ2
6. ǡ*ǡ = 0 => ǡ = Ȱ
7. cos (ǡ^ḃ) = (ǡ*ḃ) / (|ǡ|*|ḃ|)
Вычисление угла между векторами.
cos (ǡ^ḃ) = (ǡ*ḃ) / (|ǡ|*|ḃ|)
Формула вычисления длины вектора в любом базисе.
|ǡ| = (ǡ^ḃ) / Прǡ ḃ
Формула длины вектора в декартовом базисе.
|ǡ| = ax2 + ay2 + az2
Условие ортогональности 2-х векторов.
Для того чтобы два вектора были ортогональны необходимо и достаточно
1. ǡ ḻ ḃ => ǡ*ḃ = 0
2. ǡ ḻ ḃ => ǡ^ḃ = п/2
Скалярное произведение векторов в декартовом базисе.
ǡ*ḃ = α1 β1 + α2 β2 + α3 β3
Векторное произведение векторов. Определение.
Векторным произведением ǡ на ḃ называется некоторый вектор ĉ удовлетворяющий 3-м условиям
1. |ĉ| = |ǡ||ḃ|*sin (ǡ^ḃ)
2. ĉ ḻ ǡ , ĉ ḻ ḃ
3. ǡ, ḃ, ĉ – составляют правую тройку
ǡ х ḃ = ĉ
Свойства векторного произведения.
1. ǡ х ḃ = -ḃ х ǡ
2. ( λǡ ) х ḃ = λ(ǡ х ḃ) = ǡ х ( λḃ)
3. (ǡ + ḃ) х ĉ = ǡ х ĉ + ḃ х ĉ
4. ǡ х ḃ = Ȱ <=> ǡ || ḃ
5. ǡ x ǡ =Ȱ
Геометрический смысл векторного произведения.
Длина результата векторного произведения численно равна площади параллелограмма
S = | ǡ х ḃ |
Задача о вычислении площади треугольника с помощью векторного произведения.
S = | ǡ х ḃ |*1/2
Коллинеарные вектора. Определение.
Вектор называется коллинеарным, если они лежат на || прямых или на одной прямой.
Условие коллинеарности векторов.
1. x1 / x2 = y1 / y2 = z1 / z2
2. ǡ х ḃ = 0
Смешанное произведение векторов. Определение.
Смешанным произведением называется число равное векторному произведению ǡ и ḃ умноженному скалярно на ĉ.