Економічна інтерпретація розв'язання задачі лінійного програмування

Будь-яка економіко-математична модель лише спрощено, грубо відображає реальний економічний процес, і це спрощення істотно позначається на одержуваних результатах. Дослідника навряд чи влаштувала б заключна симплекс-таблиця, з якої можна було б отримати тільки список змінних і їх значення. Насправді ж результуюча симплекс-таблиця «насичена» дуже важливими даними, лише невелику частину яких складають оптимальні значення змінних. З симплекс-таблиці можна отримати інформацію щодо:

• оптимального рішення;

• статус ресурсів;

• цінності кожного ресурсу;

• чутливості оптимального рішення до зміни запасів ресурсів, варіацій коефіцієнтів цільової функції і інтенсивності споживання ресурсів.

Відомості, пов'язані з першими трьома пунктам, можна витягти безпосередньо з підсумкової симплекс-таблиці. Отримання інформації, що відноситься до четвертого пункту, вимагає додаткових обчислень.

Для ілюстрації можливостей отримання зазначеної вище інформації з заключній симплекс-таблиці скористаємося знову завданням про асортимент продукції (приклад 7.2). Це завдання формулюється наступним чином:

максимізувати Z=3x₁+4x₂ (дохід)

при наступних обмеженнях 2х₁+3х₂ ≤ 9 (сировина А)

3х₁+2х₂ ≤ 13 (сировина В)

х₁ – х₂ ≤ 1 (попит)

х₂ ≤ 2 (попит)

Оптимальна симплекс таблиця має вигляд:

В таблиці у_j, j = 1,2,3,4 – вирівнюючи змінні.

Оптимальне рішення

З точки зору практичного використання результатів рішення завдань лінійного програмування класифікація змінних на базисні і небазисних не має значення і при аналізі оптимального рішення може не враховуватися. Змінні, відсутністні в симплекс-таблиці у стовпці «базисні змінні», обов'язково мають нульове значення. Значення інших змінних наводяться в стовпці «вільні члени».

При інтерпретації результатів оптимізації в задачі про асортимент продукції нас передусім цікавлять обсяги виробництва продукції П₁ і П₂, тобто значення керованих змінних х₁ і х₂. Використовуючи дані, що містяться в симплекс-таблиці для оптимального рішення, основні результати можна представити в наступному вигляді:

Статус ресурсів

У п. 7.4 ресурси відносились або до дефіцитних або до недефіцитних - залежно від того, повне або часткове їх використання передбачає оптимальне рішення задачі. Зараз мета полягає в тому, щоб отримати відповідну інформацію безпосередньо з оптимальною таблиці.

У моделі, побудованій для задачі про асортимент продукції, фігурують чотири обмеження зі знаком «≤». Перші два обмеження (визначають допустимі витрати вихідної сировини) є справжні обмеження на ресурси. Третє і четверте обмеження ставляться до попиту. Ці вимоги можна розглядати як обмеження на відповідні ресурси, тому що збільшення попиту на продукцію еквівалентно розширенню представництва підприємства на ринку збуту. Відносно фінансових засобів така ситуація має ті самі наслідки, що і збільшення запасів ресурсів, що вимагає розподілу додаткових вкладень.

З вищевикладеного випливає, що статус ресурсів (дефіцитний або недефіцитних) для будь-якої моделі лінійного програмування можна встановити безпосередньо з результуючої симплекс-таблиці, звертаючи увагу на значення вирівнюючих змінних. Стосовно нашого завдання можна привести наступну зведену таблицю:

Позитивне значення вирівнювальної змінної вказує на неповне використання відповідного ресурсу, тобто даний ресурс є недефіцитним. Якщо ж вирівнююча змінна дорівнює 0, то це свідчить про повне споживання відповідного ресурсу. З зведеної таблиці видно, що ресурси 2 і 4 пов'язані з запасами сировини В і можливостями збуту продукції П₂. Тому будь-яке збільшення їх запасів понад установленного максимального значення призведе лише до того, що вони стануть ще більш недефіцитних. Оптимальне рішення задачі при цьому залишиться незмінним.

Ресурси, збільшення запасів яких дозволяє поліпшити рішення (збільшити дохід), - це сировина А і можливості по збуту продукції П₁, оскільки з оптимальною симплекс-таблиці видно, що вони дефіцитні. У зв'язку з цим логічно поставити питання: якому з дефіцитних ресурсів слід віддати перевагу при вкладенні додаткових коштів на збільшення їх запасів, з тим щоб отримати від них максимальну віддачу? Відповідь на це питання буде дано в наступному розділі цієї глави, де розглядається цінність різних ресурсів.

Цінність ресурсу

Цінність ресурсу характеризується величиною поліпшення оптимального значення Z, що припадає на одиницю приросту обсягу даного ресурсу. Графічна інтерпретація цього визначення стосовно до умов задачі про асортимент продукції була дана в п. 7.4 (друге завдання на чутливість). Графічний аналіз показує, що цінність ресурсів 1, 2, 3 і 4 дорівнює:

U₁= 1.4г.о. на одиницю приросту запасів ресурсу сировини А;

U₂ = 0, U₄ = 0;

U₃ = 0,2 г.о. на одиницю приросту перевищення виробництва продукції П₁, по відношенню до обсягу виробництва продукції П₂.

Ця інформація представлена ​​в оптимальній таблиці. Звернемо увагу на значення коефіцієнтів Z-рівняння, що стоять при змінних початкового базису у₁,у₂, у₃ і у₄. Значення вказаний коефіцієнтів (1,4; 0; 0,2; 0) в точності відповідають значенням U₁ ,U_2, U₃ ,U_4.

Хоча в п. 7.4 були дані необхідні роз'яснення, пов'язані з визначенням цінності ресурсів, покажемо, яким чином аналогічний результат можна отримати безпосередньо з симплекс-таблиці.

Розглянемо Z-рівняння оптимальної симплекс-таблиці розв’язок задачі про асортимент продукції:

Z = 12,8 - (1,4*у₁, + 0 * у₂ + 0,2 *у₃ + 0 * у₄).

Позитивне прирощення перемінної у₁ щодо її поточного нульового значення призводить до пропорційного зменшення Z, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює 1,4 г.о. Проте з першого обмеження моделі слідує

2х₁+3х₂+у₁= 9,

тобто збільшення у₁ еквівалентно зниженню запасу ресурсу 1 (сировини А). Звідси випливає, що зменшення запасу першого ресурсу викликають пропорційне зменшення цільової функції Z з коефіцієнтом пропорційності, рівним 1,4 г. о. Аналогічні роздуми справедливі і для ресурсу 3.

Щодо ресурсів 2 і 4 було встановлено, що їх цінність дорівнює 0 (U₂ = U₄ = 0). Цього і слід було очікувати, оскільки ресурси 2 і 4 виявилися недефіцитних. Такий результат виходить всякий раз, коли відповідні вирівнюючі змінні мають позитивне значення.

Незважаючи на те що цінність різних ресурсів, що визначається значеннями змінних U_і, була представлена ​​у вартісному (г. о.) вираженні, її не можна ототожнювати з дійсними цінами, за якими можлива закупівля відповідних ресурсів. Насправді мова йде про деяку міру, що має економічну природу і кількісно характеризує цінність ресурсу лише відносно отриманого оптимального значення Z. При зміні обмежень моделі відповідні економічні оцінки будуть змінюватися навіть тоді, коли оптимізуючий процес передбачає застосування тих же ресурсів. Тому при характеристиці цінності ресурсів економісти вважають за краще використовувати такі терміни, як тіньова ціна або двоїста оцінка. Зауважимо, що тіньова ціна характеризує інтенсивність поліпшення оптимального рішення Z. Однак при цьому не фіксується інтервал значень збільшення запасів ресурсів, при яких інтенсивність поліпшення цільової функції залишається постійною. Для більшості практичних ситуацій логічно припустити наявність верхньої межі збільшення запасів, при перевищенні якого відповідне обмеження стає надмірним, що в свою чергу призводить до нового базисного рішення і відповідним йому новим тіньовим цінами. Нижче визначається інтервал значень запасів ресурсу, при яких відповідне обмеження не стає надлишковим.

Поиск по сайту: