Вычисление площади криволинейного сектора

Доказательство:

Пусть мы работаем в полярных координатах и имеем дело с кривой r=r (q ) , a £ q £ b

Фигуру , ограниченную :

А) графиком кривой r=r (q )

Б) прямыми q = a и q = b назовём криволинейным сектором .

Разобьём отрезок [a , b ] на части точками q1, q 2 , …q n-1 , так ,что

a = q 0 <q 1<q 2<…<q n-1<q n-b и обозначим l = max D q I

Пусть mi = int r (q ) ? Mi = sup r(0) и

q Î [ q I, q I+1] q = [ q I, q I+1]

Так как есть площадь кругового сектора радиуса r и углом D q , то s и S есть площадь всех круговых секторов , вписанных и описанных вокруг нашего криволинейного сектора .

Если при l ® 0 существует lim s и lim S и они равны друг другу , то их общее значение называется площадью криволинейного сектора .

P= lim s = lim S

Но так как s и S есть снова суммы Дарбу , то

что и определяет площадь криволинейного сектора .

Длина дуги

1. Длина дуги в прямоугольной системе координат

Пусть кривая L задана уравнением у = у(х),причем

у(х) — непрерывно дифференцируемая функция на [а, Ь]. Разобьем ее на п частей точками с абсциссами проведем хорды через эти точки (рис. 18.9, а). Получим вписанную ломаную, причем длина его звена равна

где По теореме Лагранжа

а длина всей ломаной, вписанной в кривую L, равна .Из определения длины дуги имеем . Так как правая часть есть интегральная сумма для функции то

2. Длина дуги при параметрическом задании L

3. Длина дуги в полярных координатах

Теорема Ролля.

Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть, кроме того, . Тогда внутри сегмента найдется точка такая, что значение производной в этой точке равно нулю. Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной этой функции.

Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте , то, согласно 2-ой теореме Вейерштрасса, эта функция достигает на этом сегменте своего максимального значения М и своего минимального значения m. Могут представиться два случая: 1) М = m; 2) М >m. В случае 1) = М = m = const. Поэтому производная равна нулю в любой точке сегмента . В случае М > m, поскольку , можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений М или m достигается функцией в некоторой внутренней точке сегмента . Но тогда функция имеет в этой точке локальный экстремум. Поскольку функция дифференцируема в точке , то по теореме «если функция дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то » .

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайние ординаты кривой равны, то, согласно теореме Ролля, на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси OX.

Теорема Лагранжа.

Если функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри сегмента найдется точка такая, что справедлива формула (8.7)

Формулу (8.7) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Доказательство. Рассмотрим на сегменте следующую вспомогательную функцию:

(8.8)

Проверим, что для функции выполнены все условия теоремы Ролля. В самом деле, непрерывна на сегменте (как разность функции и линейной функции) и во всех внутренних точках сегмента имеет производную, равную

Из формулы (8.8) очевидно, что .Согласно теореме Ролля внутри сегмента найдется точка такая, что

(8.9)

Из равенства (8.9) вытекает формула Лагранжа (8.7). Подчеркнем, что в формуле (8.7) вовсе не обязательно считать, что .

Замечание. Мы получили теорему Лагранжа как следствие теоремы Ролля. Заметим вместе с тем, что сама теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа (при ) .

Записывая формулу Лагранжа для сегмента , будем иметь (8.10)

где – некоторая точка, лежащая между . Можно утверждать, что найдется такое (зависящее от ) число из интервала , что . Таким образом, формуле (8.10) можно придать вид

(8.11)

где — некоторое число из интервала . Формула Лагранжа в виде (8.11) дает точное выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение аргумента. Этот вид формулы Лагранжа оправдывает термин «формула конечных приращений».

21. Достаточное условие существования экстремумов

Поиск по сайту: