Экстремум – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума ( – точка минимума; – точка максимума). Точка называется точкой строгого локального max(min) f(x), еcли
Формула Тейлора.
многочлен Тейлора для степени n
,
1) F(t) – дифференцируема и непрерывна [a,x]
2) при
при
По теореме Ролля в
остаточный член в формуле Лагранжа
3. Формула Маклорена. – Формула Тейлора при
Остаточный член:
а) в форме Лагранжа
б) в форме Пеано
Теорема Коши.
Если каждая из двух функций непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная отлична от нуля всюду внутри сегмента , то внутри этого сегмента найдется точка такая, что справедлива формула (формула Коши)
Доказательство:
1) докажем, что :
Предположим что , то по теореме Ролля для , внутри сегмента нашлась бы точка такая, что . Это противоречит теореме .
2) так как , то имеет место вспомогательная функция
– непрерывна на и дифференцируема
Имея ввиду, что и
Правило Лопиталя ( раскрытие неопределенностей).
а) Неопределенность вида
Т-1. Пусть – определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ; пусть, далее,
если существует , то существует
Доказательство: пусть
Доопределим в точке
по теореме Коши
по доопределению
так как – существует
Теорема доказана. Замечание 1
б) Неопределенность вида
Аналогично Т-1, но вместо заменяем
в) Неопределенности вида сводим к
Необходимые условия локальных экстремумов
Теорема. Если f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f’(x0)=0.
Доказательство. Так как в точке x0 f(x) имеет локальный экстремум, то существует интервал (x0-ϭ,x0+ϭ) в котором f(x0) является min(max).
По теореме Ферма f(x0)=0. Ч.т.д.
Разрывы функции одной переменной первого рода
Точка а называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения. Limx->a+0f(x) limx->a-0f(x).
Разрывы функции одной переменной второго рода
Точка а называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.