Формула Эйлера и показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой:

e^jφ = cos φ + j∙sin φ,

которая называется формулой Эйлера.

Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид

z =|z|(cos φ + j∙sin φ).

На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

z =|z| e^jφ.

Эта запись называется показательной формой комплексного числа, |x| - модуль числа; φ – аргумент числа.

Примеры:

1) записать число z = -1 + j в показательной форме:

, ,

- показательная форма числа;

2) записать число z = -1 в показательной форме:

z = e^jπ - показательная форма числа.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁ = x₁ + jy₁ и z₂ = x₂ + jy₂ называется число:

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂)+ j(y₁ + y₂).

Операция сложения обладает следующими очевидными свойствами:

z₁ + z₂ = z₂ + z₁,

(z₁ + z₂)+ z₃ = z₁ + (z₂ + z₃).

Аналогично определяется вычитание:

z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + j(y₁ - y₂).

Сложение и вычитание комплексных чисел удобно выполнять, когда они записаны в алгебраической форме.

Умножение и деление комплексных чисел

Произведением двух комплексных чисел z₁ = x₁ + jy₁ и z₂ = x₂ + jy₂ называется число

z₁z₂ = (x₁x₂ – у₁у₂) + j(х₁y₂ + х₂y₁).

Это определение следует из правила раскрытия скобок, учитывая, что j² = -1.

Пример: (2 - 3j)(-5 + 4j) = -10 + 8j + 15j – 12j² = -10 + 23j + 12 = 2 + 23j.

Операция умножения обладает следующими свойствами:

z₁z₂ = z₂z₁,

(z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃),

z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃.

Умножение комплексных чисел удобнее производить, когда они записаны в тригонометрической или показательной форме. Так, если есть два числа

z₁ = |z₁|(cos φ₁ + j∙sin φ₁) иz₂ = |z₂|(cos φ₂ + j∙sin φ₂),то

z₁ z₂= |z₁||z₂|(cos (φ₁ + φ₂)+ j∙sin( φ₁ + φ₂)).

Аналогично

Т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило действует и при возведении комплексного числа в степень

Эта формула называется формулой Муавра.

Пример: вычислить .

Для начала запишем число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:

По формуле Муавра:

.

Частное от деления двух комплексных чисел z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ определяется по формуле

При делении комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, необходимо домножать числитель и знаменательна сопряженное знаменателю, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе, например:

Как и умножение, деление комплексных чисел удобнее производить, когда числа записаны в тригонометрической или показательной форме

Поиск по сайту: