Тригонометрическая форма комплексного числа

Основные определения

Комплексным числом z называется выражение вида z = x + jy, где х, у – действительные числа, j – «мнимая единица», j² = -1.

Числох называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z, ау – мнимой частью z, y = Im z.

Если действительная часть комплексного числа равна нулю, х = 0, то такое число называетсячисто мнимым z = jy.Если мнимая часть равна нулю, то число отождествляется с действительным z = x.

Два комплексных числа z₁ = x₁ + jy₁ и z₂ = x₂ + jy₂ называются равными (z₁ = z₂), тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части (х₁ = х₂, у₁ = у₂). Понятие сравнения (больше-меньше) для комплексных чисел не вводится.

Два комплексных числа z = x + jy и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексная плоскость

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Каждому комплексному числу z = x + jy можно сопоставить точку с координатами (х, у), и наоборот, каждой точке с координатами (х, у) можно сопоставить комплексное число z = x + jy. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Например, изобразим на комплексной плоскости числа z₁ = 2 + j, z₂ = 3j, z₃ = -3 + 2j, z₄ = - 1 -j:

Изображение комплексных чисел точками плоскости

Однако, чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О, а именно, комплексное число z = x + jy изображается радиус-вектором точки с координатами (х, у). В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Изображение комплексных чисел радиус-векторами

Пусть комплексное число z = a + jb изображается радиус-вектором. Длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z|. Из рисунка очевидно, что

.

Модуль и аргумент комплексного числа

Угол, образованный радиус-вектором числа z с осью Ox, называется аргументом числа z и обозначается arg z . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2π . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне [-π; π] и называют это значение главным значением аргумента. У числа z = 0 аргумент не определен.

На рисунке arg z равен углу φ . Из того же рисунка очевидно, что

;

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

- если изображение числа z находится в первой или четвертой четверти;

- если изображение числа z находится во второй четверти;

arg z = arctg (b/a) - π - если изображение числа z находится в третьей четверти.

Пример:найти модуль и аргумент числа z = -1 + j:

;

(число находится во II четверти).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Запись числа в виде z = x + jy называется алгебраической формойкомплексного числа. Используя выражения для модуля и аргумента:

можно записать

z = |z|(cos φ + j∙sin φ).

Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

Например, запишем в тригонометрической форме число z = 2 + 2j:

- модуль числа;

- аргумент числа (главное значение);

- тригонометрическая форма комплексного числа.

Поиск по сайту: