Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (8) вида
. (9)
Определение 2. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сам ряд сходится и ряд , составленный из абсолютных величин членов ряда тоже сходится.
Пример. 1- -абсолютно сходится.
Определение 3. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Пример. Ряд 1-… - условно сходящийся, т. к. сам ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд 1+ –расходится как гармонический ряд.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды обладают различными свойствами.
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не нарушает его сходимости.
2. Если и – абсолютно сходящиеся ряды с суммами и соответственно, то ряд: также абсолютно сходящийся, а сумма его равна .
3. Если и – абсолютно сходящиеся ряды с суммами и соответственно, то ряд также абсолютно сходящийся с суммой .
Свойства условно сходящихся рядов
Перестановка членов условно сходящегося ряда может изменить сумму ряда и даже сделать его расходящимся.
Теорема Римана. При перестановке членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий заранее заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Функциональные ряды. Степенные ряды
Определение. Ряд вида , членами которого являются функции , называется функциональным.
Функции определены на некотором множестве .
Каждому значению соответствует числовой ряд , который может быть сходящимся или расходящимся.
Определение. Если ряд сходится, то называется точкой сходимостифункционального ряда.
Определение.Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости .
Если функциональный ряд сходится в области , то он имеет сумму в этой области.
Рассмотрим один из функциональных рядов.
Определение.
Ряд вида ,
где – действительные числа, называется степенным рядом по степеням .
Числа называются коэффициентами степенного ряда.
При значении получим степенной ряд
(1)
по степеням .
Далее будем рассматривать ряды вида (1), т. к. любой другой степенной ряд можно свести к ряду (1) подстановкой .
Теорема (Абеля).
Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале, соответствующем неравенству: .
Следствие. Если в точке степенной ряд (1) расходится, то он расходится во всех точках таких, что .
Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что если степенной ряд (1) сходится хотя бы в одной точке , то всегда существует число такое, что степенной ряд сходится абсолютно для всех и расходится для всех .
Определение.Величина называется радиусом сходимости, а интервал – интервалом сходимости ряда (1), – середина интервала.
Частные случаи:
– если ряд сходится в точке , то ; – точка сходимости;
– если ряд сходится при всех , то ; – интервал сходимости ряда.
На концах интервала ряд может либо сходиться (абсолютно или условно), либо расходиться. Сходимость ряда при значениях надо исследовать по соответствующему признаку сходимости.
Для нахождения радиуса и интервала сходимости используют признак Даламбера, в редких случаях, радикальный признак Коши.
– радиус сходимости, – интервал сходимости ряда (1).
– формула для нахождения радиуса сходимости ряда.
Для определения сходимости ряда на концах интервала в степенной ряд (1) вместо значения подставляются числа и . Получаем два числовых ряда, которые исследуются по известным признакам сходимости.
Замечание. При исследовании на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости.