Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Определение 1. Если члены числового ряда имеют различные знаки, то ряд называется знакопеременным



Рассмотрим знакопеременный ряд

, (8)

у которого члены различных знаков.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (8) вида

. (9)

Определение 2. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сам ряд сходится и ряд , составленный из абсолютных величин членов ряда тоже сходится.

Пример. 1- -абсолютно сходится.

Определение 3. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример. Ряд 1- - условно сходящийся, т. к. сам ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд 1+ –расходится как гармонический ряд.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды обладают различными свойствами.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не нарушает его сходимости.

2. Если и – абсолютно сходящиеся ряды с суммами и соответственно, то ряд: также абсолютно сходящийся, а сумма его равна .

3. Если и – абсолютно сходящиеся ряды с суммами и соответственно, то ряд также абсолютно сходящийся с суммой .

Свойства условно сходящихся рядов

Перестановка членов условно сходящегося ряда может изменить сумму ряда и даже сделать его расходящимся.

Теорема Римана. При перестановке членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий заранее заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

 

ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Функциональные ряды. Степенные ряды

Определение. Ряд вида , членами которого являются функции , называется функциональным.

Функции определены на некотором множестве .

Каждому значению соответствует числовой ряд , который может быть сходящимся или расходящимся.

Определение. Если ряд сходится, то называется точкой сходимостифункционального ряда.

Определение.Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости .

Если функциональный ряд сходится в области , то он имеет сумму в этой области.

Рассмотрим один из функциональных рядов.

Определение.

Ряд вида ,

где – действительные числа, называется степенным рядом по степеням .

Числа называются коэффициентами степенного ряда.

При значении получим степенной ряд

(1)

по степеням .

Далее будем рассматривать ряды вида (1), т. к. любой другой степенной ряд можно свести к ряду (1) подстановкой .

Теорема (Абеля).

Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале, соответствующем неравенству: .

Следствие. Если в точке степенной ряд (1) расходится, то он расходится во всех точках таких, что .

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что если степенной ряд (1) сходится хотя бы в одной точке , то всегда существует число такое, что степенной ряд сходится абсолютно для всех и расходится для всех .

Определение.Величина называется радиусом сходимости, а интервал интервалом сходимости ряда (1), – середина интервала.

Частные случаи:

– если ряд сходится в точке , то ; – точка сходимости;

– если ряд сходится при всех , то ; – интервал сходимости ряда.

На концах интервала ряд может либо сходиться (абсолютно или условно), либо расходиться. Сходимость ряда при значениях надо исследовать по соответствующему признаку сходимости.

Для нахождения радиуса и интервала сходимости используют признак Даламбера, в редких случаях, радикальный признак Коши.

– радиус сходимости, – интервал сходимости ряда (1).

– формула для нахождения радиуса сходимости ряда.

Для определения сходимости ряда на концах интервала в степенной ряд (1) вместо значения подставляются числа и . Получаем два числовых ряда, которые исследуются по известным признакам сходимости.

Замечание. При исследовании на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.