Определение. Рядом называется выражение вида , где числа называются членами ряда. Величина – общий или -й член ряда.
Члены ряда образуют бесконечную последовательность.
Члены ряда могут обозначать числа, функции, векторы, матрицы и т.п.
Очень часто ряд записывается в сокращенной форме:
Многоточие в конце записи указывает на то, что в выражении (1) нет последнего слагаемого. Таким образом, ряд есть «бесконечная» сумма.
Определение. Ряд, все члены которого являются числами, называется числовым.
Примеры числовых рядов:
а) ,
б) .
Ряд считается заданным, если известен его общий член , т. е. задана функция натурального аргумента.
Пример. Ряд с общим членом имеет вид .
Более сложной является задача: по нескольким первым членам ряда составить общий член ряда.
Пример. Найти общий член ряда: .
Решение. Заметим закономерности для числителей и знаменателей дробей. Числа 2, 4, 6, … отличаются друг от друга на величину , т. е. эти числа образуют арифметическую прогрессию с . Тогда величину определим как общий член арифметической прогрессии .
Получим . Аналогично, числа 5, 9, 13, … образуют арифметическую прогрессию со значениями . Получим .
В результате для ряда общий член ряда .
Сумма конечного числа первых членов ряда (1) называется -й частичной суммойданного ряда.
Определение.Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм , , , …, при неограниченном возрастании имеет конечный предел:
. (2)
Этот предел называетсясуммой сходящегося ряда. Если предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со значениями и : называется геометрическим рядом, где .
Геометрический ряд сходится при величине и расходится при величине .
Свойства сходящихся рядов
1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд (полученный умножением данного ряда на число ) также сходится и имеет сумму .
2. Если ряды и сходятся и имеют суммы соответственно и , то ряды:
(3)
и ряд (4)
также сходятся, а их сумма и разность равна соответственно и .
Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.
4. Если ряд сходится, то сходится и ряд , полученный отбрасыванием первых членов ряда. Верно и обратное.
Определение.Ряд называется -м остатком ряда .
5. Если ряд (1) сходится, то
Над сходящимися рядами можно выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Они выполняются как действия над многочленами.
2. Необходимый признак сходимости ряда(теорема).
Если ряд сходится, то его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю:
. (5)
Замечание. Это условие является необходимым, но не достаточным признаком сходимости, то есть из стремления общего члена ряда к нулю не обязательно следует сходимость ряда.
Гармонический ряд служит примером ряда, у которого предел общего члена а сам этот ряд расходится