Для дослідження напруженого стану в точці навколо неї виділяється нескінченно малий паралелепіпед. У загальному випадку навантаження тіла і при довільному розташуванні паралелепіпеда на всіх його гранях діють як нормальні, так і дотичні напруження.
Нормальні напруження позначимо індексами осей, у напрямі яких вони діють: , . Дотичним напруженням дамо два індекси: перший з них вказує на напрям осі, вздовж якої діє дана складова дотичного напруження, другий — напрям зовнішньої нормалі до площини, на якій дана складова виникає (рис. 7.1).
Можна показати, що напруження на довільній площинці залежить від дев'яти компонентів напружень: . Аналогічно як для плоского, так і для об'ємного напруженого стану справедливий закон парності дотичних напружень:
. (7.1)
Отже, з дев'яти компонентів напружень залишається шість різних. їх можна записати у таблицю (матрицю), на головній діагоналі якої розташовані нормальні напруження, а точки вказують на те, що дотичні напруження, замість яких вони поставлені, дорівнюють дотичним напруженням, розташованим симетрично відносно головної діагоналі:
Симетричну квадратну матрицю (7.2) називають тензором напружень. Компоненти тензора напружень є свого роду координатами, які визначають напружений стан у точці тіла. Тому напружений стан у точці тіла повністю означений, якщо відомий тензор напружень для цієї точки.
Визначення головнях напружень
Головні напруження визначаються з кубічного рівняння
(7.3)
де
Рівняння (7.3) розв'язують за допомогою ЕОМ або графічно. Можна показати, що всі три корені рівняння (7.3) є дійсні числа. Вони дають три значення головних напружень.
У загальному випадку . Це об'ємний напружений стан. Найбільше (в алгебраїчному смислі) головне напруження позначають ах, наступне по величині ог, а найменше о*3 s
(7.5)
Зрозуміло, що головні напруження, тобто корені рівняння (73) визначаються характером напруженого стану і не залежать від того, яка система осей була початковою. Значить при повороті осей х, у, z коефіцієнти І1, І2,13 рівняння (7.3) повинні залишатися незмінними.
Вони називаються інваріантами напруженого стану.
У деяких випадках інваріанти можуть дорівнювати нулю. Наприклад, якщо I3 =0, то один з коренів рівняння (7.3) також дорівнює нулю. В цьому випадку напружений стан є плоским. Якщо I2=I3=0, тоді рівняння (73) має два нульових корені і тільки одне з головних напружень відмінне від нуля. Це – лінійний напружений стан.
Лекція 8
СКЛАДНИЙ ОПІР
Дотепер ми розглядали прості випадки навантаження стержня, які викликають його розтяг або стиск, кручення та прямий згин. Опір стержня у цих випадках називають простим. При сумісній дії кількох простих навантажень виникає так званий складний опір стержня.